Question

Люди, помогите решить неравенство: 3*9^-x-28*3^-x+9<=0 там через замену как-то, я запутался

Answer 1

3^-x=t
3t^2-28t+9<=0
D=784-108=676
t1=28-26/6=1/3    t2=28+26/6=9
3^-x=1/3  3^-x=3^-1  -x=-1  x=1
3^-x=9  3^-x=3^2  -x=2  x=-2
рассмотрим три промежутка  x<-2    -2<x<1  x>1
на промежутке  -2<x<1  знак отрицательный т.е. меньше нуля. Неравенства не строгие везде, это по условию задачи

Answer 2

Конечно, давайте решим это неравенство. Начнем с вашего уравнения:

\[3 \cdot 9^{-x} - 28 \cdot 3^{-x} + 9 \leq 0.\]

Для удобства, давайте введем замену. Обозначим \(y = 3^{-x}\). Тогда уравнение примет вид:

\[3y - 28y^2 + 9 \leq 0.\]

Теперь давайте решим этот квадратный трехчлен по \(y\).

Уравнение \(3y - 28y^2 + 9 = 0\) — это квадратное уравнение. Мы можем решить его, используя дискриминант.

Дискриминант квадратного уравнения \(ay^2 + by + c = 0\) равен \(D = b^2 - 4ac\).

В нашем случае \(a = -28\), \(b = 3\), и \(c = 9\). Таким образом, дискриминант будет:

\[D = (3)^2 - 4(-28)(9) = 9 + 1008 = 1017.\]

Так как дискриминант положителен, у нас есть два действительных корня. Решения квадратного уравнения можно найти, используя формулу:

\[y_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}.\]

\[y_{1,2} = \frac{-3 \pm \sqrt{1017}}{-56}.\]

Таким образом, у нас есть два корня \(y_1\) и \(y_2\), и неравенство \(3y - 28y^2 + 9 \leq 0\) будет верным в интервалах между и за пределами этих корней.

Теперь подставим обратно \(3^{-x}\) вместо \(y\):

\[3^{-x} = \frac{-3 \pm \sqrt{1017}}{-56}.\]

Теперь у нас есть два значения для \(3^{-x}\). Чтобы решить неравенство, нужно рассмотреть оба случая:

1. \[3^{-x} = \frac{-3 + \sqrt{1017}}{-56}.\] 2. \[3^{-x} = \frac{-3 - \sqrt{1017}}{-56}.\]

Решениями будут значения \(x\), при которых эти выражения истинны. Однако, учтите, что для корректного ответа необходимо удовлетворять исходному условию задачи. Например, корень из \(3^{-x}\) не должен быть отрицательным числом (так как мы берем обратное от \(3^{-x}\)).

Таким образом, полученные значения \(x\) должны удовлетворять исходному неравенству:

\[3 \cdot 9^{-x} - 28 \cdot 3^{-x} + 9 \leq 0.\]

Теперь, подставив значения \(x\) из обоих случаев, вы сможете определить интервалы значений \(x\), при которых неравенство выполняется.