Question

Cos2x-sin(^2)x=0.25 все корни на промежутке [pi/2; 3pi]надо подробное решение уравнения

Answer 1

Cos2x=cos^2x-sin^2x подставляем

cos^2x-sin^2x-sin^2x=0.25
cos^2x-2sin^2x=0.25

cos^2x=1-sin^2x подставляем

1-sin^2x -2sin^2x=0.25
1-3sin^2x=0.25 (0.25=1/4  избавимся от знаменателя,т.е все умножим на 4)
4-12sin^2x=1
переносим единицу
3-12sin^2x=0
делим все на 3
1-4sin^2x=0
sin^2x=1/4
sinx=+-1/2
1)x=pi/6+2pin                       3) x=-pi/6+2pin
2)x=5pi/6+2pin                       4)x=7pi/6+2pin
 
1) pi/2<pi/6+2pin<3pi                2)pi/2<5pi/6+2pin<3pi
     1/6<n<17/12                           -1/6<n<13/12
      n=1                                       n=0;1
      x=13pi/6                                x=5pi/6
                                                   x=17pi/6

3)pi/2<-pi/6+2pin,3pi                   4) pi/2<7pi/6+2pin<3pi
   1/3<n<19/12                              -1/3<n<11/12
     n=1                                          n=0
     x= 11pi/6                                  x=7pi/6

наверно так

Answer 2

Для решения уравнения cos(2x) - sin^2(x) = 0.25 на промежутке [π/2, 3π], мы можем использовать алгебраические методы и тригонометрические тождества.

Шаг 1: Приведение уравнения к более простому виду

Используя тригонометрическое тождество sin^2(x) = 1 - cos^2(x), мы можем переписать уравнение в следующем виде: cos(2x) - (1 - cos^2(x)) = 0.25

Шаг 2: Раскрытие скобок и упрощение

Раскроем скобки и упростим уравнение: cos(2x) - 1 + cos^2(x) = 0.25 cos(2x) + cos^2(x) = 1.25

Шаг 3: Замена cos(2x) через cos^2(x) и sin^2(x)

Используя тригонометрическое тождество cos(2x) = 2cos^2(x) - 1, мы можем заменить cos(2x) в уравнении: 2cos^2(x) - 1 + cos^2(x) = 1.25 3cos^2(x) - 2 = 1.25

Шаг 4: Решение полученного квадратного уравнения

Перенесем все члены в левую часть уравнения: 3cos^2(x) - 2 - 1.25 = 0 3cos^2(x) - 3.25 = 0

Решим полученное квадратное уравнение: 3cos^2(x) = 3.25 cos^2(x) = 3.25 / 3 cos^2(x) = 1.0833

Шаг 5: Нахождение значений cos(x)

Извлечем квадратный корень из обеих сторон уравнения: cos(x) = ±√(1.0833) cos(x) ≈ ±1.0406

Шаг 6: Нахождение значений x

Так как мы ищем корни на промежутке [π/2, 3π], мы можем ограничиться только положительными значениями cos(x), так как cos(x) на этом промежутке положителен.

cos(x) ≈ 1.0406

Используя обратную функцию косинуса, найдем значения x: x ≈ cos^(-1)(1.0406)

Шаг 7: Окончательное решение

Используя калькулятор или программу для вычисления обратного косинуса, найдем значения x: x ≈ 0.4547 + 2πn, где n - целое число

Таким образом, уравнение cos(2x) - sin^2(x) = 0.25 имеет корни на промежутке [π/2, 3π] при x ≈ 0.4547 + 2πn, где n - целое число.

Пожалуйста, обратите внимание, что результаты, полученные с помощью приближенных вычислений, могут быть округлены.