Question

Имеется бесконечная арифметическая прогрессия натуральных чисел с нулевой разностью. Из каждого ее члена извлекли квадратный корень и если получилось нецелое число округлили до ближайшего целого. Может ли быть ,что все округления были в одну сторону? ?? Помогиитее плиииз...

Answer 1

Мама пошла в магазин , и не смогла решит =) хаха_)

Answer 2

Давайте рассмотрим арифметическую прогрессию с нулевой разностью. Если мы обозначим первый член этой прогрессии как \(a\), то все остальные члены будут \(a, 2a, 3a, 4a, \ldots\).

Теперь из каждого члена этой прогрессии мы извлекаем квадратный корень и округляем его до ближайшего целого числа. Представим, что корень из \(n\) округлен до ближайшего целого числа равен \(m\). Тогда \(m - 0.5 \leq \sqrt{n} < m + 0.5\).

Теперь давайте рассмотрим, что произойдет, если все округления произойдут в одну сторону. Предположим, что мы всегда округляем вниз. Тогда для каждого члена прогрессии мы будем иметь:

\[\lfloor\sqrt{a}\rfloor, \lfloor\sqrt{2a}\rfloor, \lfloor\sqrt{3a}\rfloor, \lfloor\sqrt{4a}\rfloor, \ldots\]

Обратите внимание, что \(\sqrt{4a} = 2\sqrt{a}\). Таким образом, для каждого четного \(n\), \(\lfloor\sqrt{na}\rfloor\) будет равно \(2\lfloor\sqrt{a}\rfloor\), а для каждого нечетного \(n\), \(\lfloor\sqrt{na}\rfloor\) будет равно \(2\lfloor\sqrt{a}\rfloor + 1\).

Теперь вопрос заключается в том, может ли существовать бесконечная последовательность натуральных чисел, где каждое нечетное число больше предыдущего четного числа на 1. Ответ — нет.

Если начать с любого натурального числа, то следующее число будет четным, следующее за ним — нечетным, и так далее. Невозможно, чтобы каждое нечетное число было больше предыдущего четного на 1 в бесконечной последовательности.

Таким образом, невозможно, чтобы все округления производились в одну сторону. Ответ: нет, все округления не могут быть в одну сторону.