Question

Найдите точку максимума функции y=(x-11)^2×e^x-7

Answer 1

2(x-11)e^x+(x-11)²e^x=0
e^x(x-11)(2+x-11)=0
|e^x=0→e^x>0
|x-11=0→x=11
|x-9=0 →x=9
x=9 max
x=11 min

Answer 2

Чтобы найти точку максимума функции \(y = (x-11)^2 \cdot e^x - 7\), нужно выполнить несколько шагов. Давайте разберемся:

1. Найдем производную функции: \[y' = 2(x-11)e^x + (x-11)^2e^x.\]

2. Приравняем производную к нулю и решим уравнение: \[2(x-11)e^x + (x-11)^2e^x = 0.\]

Это уравнение можно упростить, вынеся \(e^x\) и факторизуя: \[e^x \cdot (2(x-11) + (x-11)^2) = 0.\]

Таким образом, у нас есть два множителя. Первый множитель (\(e^x\)) не может быть равен нулю, так что мы фокусируемся на втором множителе: \[2(x-11) + (x-11)^2 = 0.\]

3. Решим квадратное уравнение: \[(x-11)^2 + 2(x-11) = 0.\]

Обозначим \(u = x - 11\), тогда уравнение примет вид: \[u^2 + 2u = 0.\]

Решение этого уравнения: \[u(u + 2) = 0.\]

Получаем два значения \(u = 0\) и \(u = -2\).

4. Вернемся к переменной \(x\): \[x - 11 = 0 \Rightarrow x = 11.\] \[x - 11 = -2 \Rightarrow x = 9.\]

Таким образом, у нас есть две точки, где производная равна нулю: \(x = 11\) и \(x = 9\).

5. Проверим вторую производную: Вторая производная: \[y'' = 2e^x + 2(x-11)e^x + 2e^x + 2(x-11)(x-11)e^x.\]

Подставим найденные значения \(x = 11\) и \(x = 9\) и оценим знаки: - При \(x = 11\): \(y''(11) = 4e^{11} > 0\) (положительная вторая производная, значит, у нас точка минимума). - При \(x = 9\): \(y''(9) = 4e^9 > 0\) (положительная вторая производная, значит, у нас точка минимума).

6. Найдем значения функции в найденных точках: Подставим \(x = 11\) и \(x = 9\) в исходную функцию \(y = (x-11)^2 \cdot e^x - 7\) и найдем соответствующие значения \(y\).

При \(x = 11\): \[y(11) = 0^2 \cdot e^{11} - 7 = -7.\]

При \(x = 9\): \[y(9) = (-2)^2 \cdot e^9 - 7 = 4e^9 - 7.\]

Таким образом, точка максимума функции \(y = (x-11)^2 \cdot e^x - 7\) находится в точке \((x, y) = (9, 4e^9 - 7)\).