Question

Составить диф. уравнение семейства кривых C1x+(y-C2)^2=0

Answer 1

Видим, что данное уравнение содержит два параметра, то есть, $C_1$ и $C_2$. Дифференцируем его два раза по $x$. Получаем
                                   $C_1+2(y-C_2)y'=0\\ \\2y'^2+2(y-C_2)y''=0$
Исключаем $C_1$ и $C_2$ из полученных уравнений. 
$C_1=-2(y-C_2)y'$, подставляя это в исходное уравнение, получим
                   $-2x(y-C_2)y'+(y-C_2)^2=0\Rightarrow\,\,-2xy'+y-C_2=0$
Отсюда $C_2=y-2xy'$, подставим теперь это в последнее уравнение, получаем
                     $2y'^2+2y''\times2xy'=0\Rightarrow\,\,2 y'(y'+2xy'')=0$

Искомое уравнение $y'+2xy''=0.$

Answer 2

Чтобы составить дифференциальное уравнение семейства кривых, данного вида: C1x + (y - C2)^2 = 0, мы должны продифференцировать это уравнение по переменной x. Давайте начнем сначала и разберемся, что представляют собой константы C1 и C2 в данном уравнении.

- C1: это коэффициент, который умножает переменную x. Он задает наклон кривой относительно оси x. - C2: это константа, которая определяет вертикальное смещение кривой вдоль оси y.

Теперь продифференцируем уравнение по переменной x:

C1x + (y - C2)^2 = 0

Дифференцируем обе части уравнения по переменной x: d/dx (C1x) + d/dx ((y - C2)^2) = 0

Поскольку C1 является константой, его производная по переменной x равна нулю. Дифференцируем второе слагаемое:

d/dx ((y - C2)^2) = 2(y - C2) * dy/dx

Теперь у нас есть дифференциальное уравнение для семейства кривых C1x + (y - C2)^2 = 0:

0 + 2(y - C2) * dy/dx = 0

Мы можем упростить это уравнение, разделив на 2(y - C2):

dy/dx = 0 / 2(y - C2)

dy/dx = 0

Таким образом, дифференциальное уравнение для семейства кривых C1x + (y - C2)^2 = 0 равно dy/dx = 0.

Это означает, что наклон каждой кривой в этом семействе будет равен нулю, и они будут параллельны оси x.