Question

Покажите,как можно записать в виде обыкновенной дроби периодическую десятичную дробь а) 0,(5); б) 0,(17); в) 0,4(6).

Answer 1

А) 
$A=0.(5)$
$10A=5.(5)$
$10A-A=5.(5)-0.(5)$
$9A=5$
$A=\frac{5}{9}$
ответ: 5/9
б) $A=0.(17)$
$100A=17.(17)$
$100A-A=17.(17)-0.(17)$
$99A=17$
$A=\frac{17}{99}$ 
ответ: 17/99
в) $A=0.4(6)$
$10A=4.6(6)$
$10A-A=4.6(6)-0.4(6)$
$9A=4.2$
$90A=42$
$A=\frac{42}{90}=\frac{21}{45}=\frac{7}{15}$
ответ: 7/15

Answer 2

Конечные десятичные дроби можно представить в виде обыкновенных дробей следующим образом. Рассмотрим каждый пример:

а) \(0,(5)\):

Пусть \(x = 0,(5)\). Тогда, чтобы избавиться от периода, умножим \(x\) на 10:

\[10x = 5,(5).\]

Теперь вычтем исходное уравнение из уравнения, умноженного на 10:

\[ \begin{align*} 10x - x &= 5,(5) - 0,(5) \\ 9x &= 5 \\ x &= \frac{5}{9}. \end{align*} \]

Таким образом, десятичная дробь \(0,(5)\) равна обыкновенной дроби \(\frac{5}{9}\).

б) \(0,(17)\):

Пусть \(y = 0,(17)\). Умножим \(y\) на 100 (поскольку в периоде две цифры):

\[100y = 17,(17).\]

Теперь вычтем исходное уравнение из уравнения, умноженного на 100:

\[ \begin{align*} 100y - y &= 17,(17) - 0,(17) \\ 99y &= 17 \\ y &= \frac{17}{99}. \end{align*} \]

Таким образом, десятичная дробь \(0,(17)\) равна обыкновенной дроби \(\frac{17}{99}\).

в) \(0,4(6)\):

Пусть \(z = 0,4(6)\). Умножим \(z\) на 10 (поскольку в периоде одна цифра):

\[10z = 4,(6).\]

Теперь вычтем исходное уравнение из уравнения, умноженного на 10:

\[ \begin{align*} 10z - z &= 4,(6) - 0,4(6) \\ 9z &= 4 \\ z &= \frac{4}{9}. \end{align*} \]

Таким образом, десятичная дробь \(0,4(6)\) равна обыкновенной дроби \(\frac{4}{9}\).