Question

В компании 100 человек, причем каждый из них знаком с 50 членами компании. Известно, что нет троих, попарно знакомых друг с другом ( то есть если Х знаком с Y, а Y знаком с Z, то Z не знаком с X). Докажите, что не найдется пятерых из них А, В, С, D и E, знакомых по кругу (А с В, В с С, С с D, D с Е, Е с А.

Answer 1

×:18=7:9
×=14
6:×=3:7
×=14
12:7=60:×
×=35

Answer 2

Для решения этой задачи воспользуемся методом от противного, предполагая, что такие пять человек (А, В, С, D и E) существуют и знакомы по кругу.

Предположим, что А знаком с В, В с С, С с D, D с E и E с А. Таким образом, у нас есть круговая цепочка знакомств. Теперь рассмотрим, какие люди еще знакомы с каждым из участников этой цепочки.

1. А знаком с В и E. 2. В знаком с А и С. 3. С знаком с В и D. 4. D знаком с C и E. 5. E знаком с D и A.

Теперь рассмотрим, например, В. Он знаком с А и С. В цепочке знакомств, которую мы предполагаем, А знаком с В, а В знаком с С. Таким образом, мы имеем замкнутую цепочку знакомств, что противоречит условию задачи.

Это противоречие доказывает, что предположение о существовании пятерых людей (А, В, С, D и E), знакомых по кругу, неверно. Таким образом, в компании из 100 человек невозможно найти таких пятерых, которые были бы знакомы по кругу.