Question

Известно, что а^2 — b^2= 11, причем а и b - натуральные числа. Найдите а^2+Ь^2

Answer 1

Из условия следует, что (a+b)(a-b)=11 и a>b. Поскольку число 11 – простое, а каждое из чисел a+b, a-b натуральное, a-b=1, a+b=11. Складывая равенства, получаем a+b=12, a=6, откуда b=5. Тогда 6²+5²=36+25=61.

Ответ: 61.

Answer 2

Исходное уравнение: \(a^2 - b^2 = 11\).

Формула разности квадратов: \(a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)\).

Теперь подставим вместо \(a^2 - b^2\) значение из уравнения: \((a + b)(a - b) = 11\).

У нас есть несколько вариантов разложения числа 11 на множители: \(11 \times 1\) или \(1 \times 11\). Так как \(a\) и \(b\) — натуральные числа, \(a + b\) и \(a - b\) также будут натуральными числами.

Рассмотрим случай \(a + b = 11\) и \(a - b = 1\). Решим эту систему уравнений.

Сложим уравнения: \[a + b + a - b = 11 + 1 \implies 2a = 12 \implies a = 6.\]

Теперь найдем значение \(b\): \[a - b = 6 - b = 1 \implies b = 5.\]

Таким образом, одно из возможных решений уравнения \(a^2 - b^2 = 11\) при условии, что \(a\) и \(b\) — натуральные числа, это \(a = 6\) и \(b = 5\).

Теперь найдем \(a^2\) и \(b^2\): \[a^2 = 6^2 = 36,\] \[b^2 = 5^2 = 25.\]

Итак, \(a^2 + b^2 = 36 + 25 = 61\).

Таким образом, \(a^2 + b^2 = 61\) для найденных значений \(a\) и \(b\).