Question

Вычислите sin 75 *sin15

Answer 1

Sin75⁰·sin15⁰=1/2·[cos(75⁰-15⁰)-cos(75⁰+15⁰)]=
=1/2·(cos60⁰-cos90⁰)=1/2·(√3/2-0)=√3/4;

Answer 2

Чтобы вычислить значение выражения \( \sin(75^\circ) \cdot \sin(15^\circ) \), мы будем использовать тригонометрические тождества. Для начала, воспользуемся тем, что

\[ \sin(A \pm B) = \sin A \cdot \cos B \pm \cos A \cdot \sin B. \]

Мы можем представить \( 75^\circ \) и \( 15^\circ \) как сумму и разность:

\[ \sin(75^\circ) = \sin(45^\circ + 30^\circ) \] \[ \sin(15^\circ) = \sin(45^\circ - 30^\circ) \]

Теперь применим тригонометрические формулы:

\[ \sin(75^\circ) = \sin 45^\circ \cdot \cos 30^\circ + \cos 45^\circ \cdot \sin 30^\circ \] \[ \sin(15^\circ) = \sin 45^\circ \cdot \cos 30^\circ - \cos 45^\circ \cdot \sin 30^\circ \]

Используем известные значения:

\[ \sin 45^\circ = \cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \] \[ \cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} \] \[ \sin 30^\circ = \frac{1}{2} \]

Теперь вычислим:

\[ \sin(75^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} \] \[ \sin(15^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} \]

Упростим выражения:

\[ \sin(75^\circ) = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} \] \[ \sin(15^\circ) = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \]

Теперь умножим полученные значения:

\[ \sin(75^\circ) \cdot \sin(15^\circ) = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} \cdot \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \]

Для умножения числителей и знаменателей, упростим выражение:

\[ \sin(75^\circ) \cdot \sin(15^\circ) = \frac{6 - 2}{16} = \frac{4}{16} = \frac{1}{4} \]

Таким образом, \(\sin(75^\circ) \cdot \sin(15^\circ) = \frac{1}{4}\).