Question

Даны три вектора: a(1;1;2), b(2;2;-1), c(3;0;-1). Найти: 1) скалярное произведение (b+c)*(a+c) 2) векторное произведение |(b+c)*(a+c)| 3) смешанное произведение a*b*c

Answer 1

1) скалярное произведение (b+c)*(a+c)
(b+c)*(a+c)=(2+3;2+0;-1+(-1))*(1+3;1+0;2+(-1))=(5;2;-2)*(4;0;1)=(20;0;-2)

2) векторное произведение |(b+c)*(a+c)|
bc × ac =     i    j    k                     
                  5    2    -2       =                       
                  4    0    1
 = i (2·1 - (-2)·0) - j (5 ·1 - (-2)·4)+k(5·0 - 2·4) = i (2 + 0) - j (5 + 8) + k ( 0 - 8) = {2; -13; -8}

3) смешанное произведение a*b*c
a · (b × c) =  1    1    2                             
                  2    2    -1           =                    
                  3    0    -1  
= 1·2·(-1) + 1·(-1)·3 + 2·2·0 - 2·2·3 - 1·2·(-1) - 1·(-1)·0= -2 - 3 + 0 - 12 + 2+ 0 = -15

Answer 2

Для решения данной задачи по векторам, нам понадобятся следующие операции: скалярное произведение, векторное произведение и смешанное произведение. Давайте рассмотрим каждый пункт по отдельности.

1) Скалярное произведение (b+c) * (a+c):

Скалярное произведение двух векторов определяется как сумма произведений соответствующих координат этих векторов. Для векторов `u = (u1, u2, u3)` и `v = (v1, v2, v3)` скалярное произведение обозначается как `u * v` и вычисляется следующим образом:

u * v = u1 * v1 + u2 * v2 + u3 * v3

Теперь вычислим скалярное произведение `(b+c) * (a+c)`:

b + c = (2, 2, -1) + (3, 0, -1) = (5, 2, -2)
a + c = (1, 1, 2) + (3, 0, -1) = (4, 1, 1)

(b+c) * (a+c) = (5, 2, -2) * (4, 1, 1) = 5 * 4 + 2 * 1 + (-2) * 1 = 20 + 2 - 2 = 20

Таким образом, скалярное произведение `(b+c) * (a+c)` равно 20.

2) Векторное произведение |(b+c) * (a+c)|:

Векторное произведение двух векторов определяется как новый вектор, перпендикулярный обоим исходным векторам. Для векторов `u = (u1, u2, u3)` и `v = (v1, v2, v3)` векторное произведение обозначается как `u x v` и вычисляется следующим образом:

u x v = (u2 * v3 - u3 * v2, u3 * v1 - u1 * v3, u1 * v2 - u2 * v1)

Теперь вычислим векторное произведение `(b+c) * (a+c)`:

(b+c) = (5, 2, -2)
(a+c) = (4, 1, 1)

(b+c) x (a+c) = (2 * 1 - (-2) * 1, (-2) * 4 - 5 * 1, 5 * 1 - 2 * 4) = (4, -13, -3)

Длина вектора можно вычислить с использованием формулы:

|v| = sqrt(v1^2 + v2^2 + v3^2)

Вычислим длину вектора `(b+c) x (a+c)`:

|(b+c) x (a+c)| = sqrt(4^2 + (-13)^2 + (-3)^2) = sqrt(16 + 169 + 9) = sqrt(194)

Таким образом, длина вектора `(b+c) x (a+c)` равна `sqrt(194)`.

3) Смешанное произведение a * b * c:

Смешанное произведение трех векторов определяется как скалярное произведение вектора `a` и векторного произведения векторов `b` и `c`. Для векторов `u`, `v` и `w` смешанное произведение обозначается как `u * (v x w)` и вычисляется следующим образом:

u * (v x w) = u * v1 * w1 + u * v2 * w2 + u * v3 * w3

Теперь вычислим смешанное произведение `a * b * c`:

a = (1, 1, 2)
b = (2, 2, -1)
c = (3, 0, -1)

b x c = (2 * (-1) - (-1) * 0, (-1) * 3 - 2 * (-1), 2 * 0 - 2 * 3) = (-2, -1, -6)

a * (b x c) = 1 * (-2) * (-1) + 1 * (-1) * (-6) + 2 * (-6) = 2 + 6 - 12 = -4

Таким образом, смешанное произведение `a * b * c` равно -4.

Итак, мы получили следующие результаты:

1) Скалярное произведение `(b+c) * (a+c) = 20` 2) Длина вектора `(b+c) x (a+c) = sqrt(194)` 3) Смешанное произведение `a * b * c = -4`

Ответ: 1) Скалярное произведение `(b+c) * (a+c) = 20` 2) Длина вектора `(b+c) x (a+c) = sqrt(194)` 3) Смешанное произведение `a * b * c = -4`