Question

Исследовать на экстремум функцию z=x^2+y^2+2x-4y+15(срочно нужна помощь)

Answer 1

Выделим  полные   квадраты:
Z=(x^2+2x+1)+(y^2-4y+4)+10=(x+1)^2+(y-2)^2+10
Очевидно что   функция   может   бесконечно   возрастать,при   возростании x y,а  значит   функция   максимума   не имеет.
Тк  квадраты   C^2>=0 ,то   функция   имеет  наименьшее   значение  ,когда 
x+1=0   x=-1
y-2=0   y=2
Это  значение  равно  10
То  есть  точка  экстремума (точка  минимума)   A(-1,2,10)

Answer 2

Конечно, помогу разобраться с этой задачей. Для начала, функция \( z = x^2 + y^2 + 2x - 4y + 15 \) является функцией двух переменных \( x \) и \( y \), и её можно рассматривать в контексте определения экстремумов.

Чтобы найти экстремумы данной функции, нужно найти её частные производные по переменным \( x \) и \( y \), приравнять их к нулю и решить систему уравнений.

1. Найдем частные производные функции \( z \) по \( x \) и \( y \):

\[ \frac{{\partial z}}{{\partial x}} = 2x + 2 \] \[ \frac{{\partial z}}{{\partial y}} = 2y - 4 \]

2. Теперь приравняем их к нулю и решим систему уравнений:

\[ \begin{cases} 2x + 2 = 0 \\ 2y - 4 = 0 \end{cases} \]

Решив эту систему уравнений, найдем значения переменных \( x \) и \( y \), при которых частные производные равны нулю.

Из первого уравнения получаем: \( x = -1 \).

Из второго уравнения: \( y = 2 \).

Теперь найдем значение функции \( z \) в найденных точках экстремума:

\[ z(-1, 2) = (-1)^2 + (2)^2 + 2(-1) - 4(2) + 15 = 1 + 4 - 2 - 8 + 15 = 10 \]

Таким образом, найденная точка экстремума функции \( z = x^2 + y^2 + 2x - 4y + 15 \) при \( x = -1 \) и \( y = 2 \) имеет значение \( z = 10 \).

Это позволяет сделать предположение о том, что в точке \((-1, 2)\) функция \( z \) достигает локального минимума.