Question

Помогите пожалуйста найти общее решение системы: x'=x-2y и y'=2x-3y

Answer 1

Найти общее решение системы:
x'=x-2y
y'=2x-3y

dy/dt=2x-3y

x=(dy/dt+3y)/2
x=(y'+3y)/2

dx/dt=(d²y/dt²+3dy/dt)/2
x'=(y''+3y')/2


x'=x-2y
(y''+3y')/2=(y'+3y)/2-2y
y''+3y'=y'+3y-4y
y''+2y'+y=0

λ²+2λ+1=0
D =2²-4*1*1 =0
λ=-2/2*1=-1

общее решение однородного уравнения

y(t)=c1*e^(-t)+c2*e^(-t)
y(t)=(c1+c2)*e^(-t)
где
с1,с2– константы

Answer 2

Решение системы уравнений

Дана система уравнений:

x' = x - 2y y' = 2x - 3y

Для решения данной системы уравнений можно использовать методы линейной алгебры, такие как метод Крамера или метод обратной матрицы. Давайте рассмотрим оба метода.

Метод Крамера

Метод Крамера позволяет найти решение системы уравнений, используя определители матриц. Для этого нужно составить матрицу коэффициентов и вектор правых частей.

Матрица коэффициентов: ``` 1 -2 2 -3 ```

Вектор правых частей: ``` 0 0 ```

Теперь вычислим определитель матрицы коэффициентов и определители матриц, полученных заменой столбцов на вектор правых частей.

Определитель матрицы коэффициентов: det(A) = 1*(-3) - 2*(-2) = -3 + 4 = 1

Определитель матрицы, полученной заменой первого столбца на вектор правых частей: det(A1) = 0*(-3) - 0*(-2) = 0

Определитель матрицы, полученной заменой второго столбца на вектор правых частей: det(A2) = 1*0 - 2*0 = 0

Теперь найдем значения переменных x и y, используя формулы: x = det(A1) / det(A) = 0 / 1 = 0 y = det(A2) / det(A) = 0 / 1 = 0

Таким образом, решение системы уравнений методом Крамера равно x = 0, y = 0.

Метод обратной матрицы

Для использования метода обратной матрицы, нужно найти обратную матрицу от матрицы коэффициентов и умножить ее на вектор правых частей.

Матрица коэффициентов: ``` 1 -2 2 -3 ```

Обратная матрица: ``` 3 -2 2 -1 ```

Вектор правых частей: ``` 0 0 ```

Умножим обратную матрицу на вектор правых частей: ``` 3*(-2) + (-2)*(-1) = 6 + 2 = 8 2*(-2) + (-1)*(-1) = -4 + 1 = -3 ```

Таким образом, решение системы уравнений методом обратной матрицы равно x = 8, y = -3.

Вывод

Решение системы уравнений x' = x - 2y и y' = 2x - 3y может быть найдено двумя способами: методом Крамера (x = 0, y = 0) и методом обратной матрицы (x = 8, y = -3).