Question

В треугольнике ABC сторона AB=4корень квадратный13 BC=2корень квадратный37 и AC=2корень7. Найдите величину угла между медианами АМ и СК

Answer 1

Решение прицеплено в картинке

Answer 2

Для решения этой задачи, давайте вначале найдем координаты вершин треугольника ABC. Пусть точка A имеет координаты (0, 0), сторона AB лежит на оси x, а сторона AC лежит на оси y. Тогда, используя известные длины сторон AB и AC, мы можем найти координаты точек B и C.

Длина стороны AB равна 4√13. Поэтому координаты точки B будут (4√13, 0).

Длина стороны AC равна 2√7. Поэтому координаты точки C будут (0, 2√7).

Теперь, чтобы найти координаты точки M (точки пересечения медиан), мы можем использовать формулу для нахождения среднего значения координат:

x-coordinate of M = (x-coordinate of A + x-coordinate of B + x-coordinate of C) / 3 y-coordinate of M = (y-coordinate of A + y-coordinate of B + y-coordinate of C) / 3

Подставляя значения, получаем:

x-coordinate of M = (0 + 4√13 + 0) / 3 = 4√13 / 3 y-coordinate of M = (0 + 0 + 2√7) / 3 = 2√7 / 3

Таким образом, координаты точки M равны (4√13 / 3, 2√7 / 3).

Аналогично, найдем координаты точки K (точки пересечения медиан):

x-coordinate of K = (x-coordinate of A + x-coordinate of B + x-coordinate of C) / 3 y-coordinate of K = (y-coordinate of A + y-coordinate of B + y-coordinate of C) / 3

Подставляя значения, получаем:

x-coordinate of K = (0 + 0 + 4√13) / 3 = 4√13 / 3 y-coordinate of K = (0 + 2√7 + 0) / 3 = 2√7 / 3

Таким образом, координаты точки K равны (4√13 / 3, 2√7 / 3).

Теперь, чтобы найти угол между медианами AM и CK, мы можем использовать формулу для нахождения угла между двумя векторами:

cos(θ) = (A · B) / (|A| * |B|)

где A - вектор AM, B - вектор CK, · обозначает скалярное произведение, |A| и |B| - длины векторов A и B соответственно.

Вектор AM имеет координаты (4√13 / 3, 2√7 / 3), а вектор CK имеет координаты (4√13 / 3, 2√7 / 3). Найдем их длины:

|A| = √((4√13 / 3)^2 + (2√7 / 3)^2) = √(16 * 13 / 9 + 4 * 7 / 9) = √(208 / 9 + 28 / 9) = √(236 / 9) = √(236) / 3 |B| = √((4√13 / 3)^2 + (2√7 / 3)^2) = √(16 * 13 / 9 + 4 * 7 / 9) = √(208 / 9 + 28 / 9) = √(236 / 9) = √(236) / 3

Также найдем скалярное произведение A · B:

A · B = (4√13 / 3 * 4√13 / 3) + (2√7 / 3 * 2√7 / 3) = (16 * 13 / 9) + (4 * 7 / 9) = (208 / 9) + (28 / 9) = 236 / 9

Подставляя значения в формулу, получаем:

cos(θ) = (236 / 9) / ((√236 / 3) * (√236 / 3)) = (236 / 9) / (236 / 9) = 1

Таким образом, значение угла θ между медианами AM и CK равно 0 градусов.

Ответ: Угол между медианами АМ и СК равен 0 градусов.