Question

Вычислить площадь фигуры ограниченой линиями y=8x-x^2 y=0

Answer 1

Найдем точки пересечения параболы с осью Ох:

$8x-x^2=0\\\\x(8-x)=0\\\\x=0,\quad x=8$

$\displaystyle \int\limits^8_0 {8x-x^2} \, dx =\bigg(8*\frac{x^2}2-\frac{x^3}3\bigg)\bigg|^8_0=4(8^2-0)-\frac{8^3-0}{3}=\\\\=256-\frac{512}{3}=\frac{768-512}{3}=\boxed{\frac{256}3}$

Answer 2

Для вычисления площади фигуры, ограниченной линиями y = 8x - x^2 и y = 0, мы можем использовать метод интегрирования. Фигура, ограниченная этими двумя линиями, будет заключена между кривыми и осью x.

Нахождение точек пересечения кривых

Для начала, найдем точки пересечения кривых y = 8x - x^2 и y = 0, путем приравнивания уравнений и решения получившегося квадратного уравнения:

8x - x^2 = 0

Факторизуем это уравнение:

x(8 - x) = 0

Итак, у нас есть два случая:

1. x = 0 2. 8 - x = 0, что дает x = 8

Таким образом, точки пересечения кривых - (0, 0) и (8, 0).

Определение пределов интегрирования

Теперь, чтобы найти пределы интегрирования, мы рассмотрим интервал между этими двумя точками пересечения. Поскольку кривые пересекаются в точках (0, 0) и (8, 0), пределы интегрирования будут от 0 до 8.

Вычисление площади

Теперь мы можем вычислить площадь фигуры, используя определенный интеграл от кривой y = 8x - x^2 до оси x. Площадь будет равна модулю значения этого интеграла.

Таким образом, площадь фигуры ограниченной линиями y = 8x - x^2 и y = 0 будет вычислена следующим образом:

S = |∫[0, 8] (8x - x^2) dx|

Мы можем использовать интеграл для вычисления этой площади. Вычисление этого интеграла может быть сложным ручным способом, но его можно вычислить с помощью программирования или математического программного обеспечения.

Если вы хотите использовать Python для вычисления этого интеграла, мы можем использовать библиотеку `scipy`:

from scipy.integrate import quad

def integrand(x):
    return 8*x - x**2

area, error = quad(integrand, 0, 8)

Результатом будет значение площади `area` и погрешность `error`. Вычисленная площадь будет положительной, поскольку мы использовали модуль в определении интеграла.

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной линиями y = 8x - x^2 и y = 0, равна `area`.