Question

Найдите наименьшее положительное решение уравнения cos3x=cos15x, принадлежащее отрезку [0;П/2]

Answer 1

Cos3x-cos15x=0
2sin6xsin9x=0
sin6x=0
6x=πn
x=πn/6,n∈z
0≤πn/6≤π/2
0≤n≤3
n=0⇒x=0
n=1⇒x=π/6
n=2⇒x=π/3
n=3⇒x=π/2
sin9x=0
9x=πk
x=πk/9,k∈z
0≤πk/9≤π/2
0≤2k≤9
0≤k≤4,5
k=0⇒x=0
k=1⇒x=π/9
k=2⇒x=2π/9
k=3⇒x=π/3
k=4⇒x=4π/9

Answer 2

Для решения уравнения cos3x = cos15x на отрезке [0; П/2], мы можем использовать тригонометрическую формулу:

cos(a) = cos(b) тогда и только тогда, когда a = b + 2kπ или a = -b + 2kπ, где k - целое число.

Применим эту формулу к нашему уравнению:

3x = 15x + 2kπ или 3x = -15x + 2kπ

Решим первое уравнение:

12x = 2kπ

x = kπ/6

Поскольку мы ищем наименьшее положительное решение, проверим значения x = 0 и x = π/6:

cos(3*0) = cos(15*0) = cos(0) = 1, не удовлетворяет уравнению cos(3*π/6) = cos(15*π/6) = cos(π/2) = 0, удовлетворяет уравнению

Таким образом, x = π/6 - наименьшее положительное решение уравнения cos3x = cos15x на отрезке [0; П/2].