Question

Помогите решить неравенства с помощью графика соответсвующей квадратичной функции: 1) (2х-1)^2<4x+61 2)-3(х^2+1)≥3х-39

Answer 1

Нарисуй параболу, которая слева и прямую, которая справа.
Посмотри, где они пересекаются.
1) y(x) = (2x - 1)^2 - это парабола (2x)^2 = 4x^2, сдвинутая на 1 вправо.
Вершина у нее находится в точке (1/2; 0), ветви направлены вверх.
f(x) = 4x + 61 - это прямая f(x) = 4x, поднятая на 61 вверх.
В точках (-3; 49) и (5; 81) они пересекаются.
y(-3) = (-2*3-1)^2 = (-6-1)^2 = (-7)^2 = 49; f(-3) = -4*3+61 = -12+61 = 49
y(5) = (2*5-1)^2 = (10-1)^2 = 9^2 = 81; f(5) = 4*5+61 = 20+61 = 81
Значит, при x ∈ (-3; 5) парабола будет лежать ниже прямой,
то есть неравенство выполняется.

2) -3(x^2 + 1) >= 3x - 39
y(x) = -3(x^2+1) = -3x^2-3 - парабола y = -3x^2, опущенная на 3 вниз.
Вершина у нее находится в точке (0; -3); ветви направлены вниз.
f(x) = 3x - 39 - прямая f(x) = 3x, опущенная на 39 вниз.
В точках (-4; -51) и (3; -30) они пересекутся.
Значит, при x ∈ [-4; 3] парабола лежит выше прямой или пересекается, то есть неравенство выполняется.

Графики нарисуй самостоятельно, у меня в Пайнте не получается.

Answer 2

Для решения неравенств с помощью графика соответствующей квадратичной функции, сначала нужно построить график каждой функции и затем найти область, где график находится ниже или выше другого графика.

Начнем с первого неравенства: (2x-1)^2 < 4x+61.

Для начала, раскроем квадрат в левой части неравенства: 4x^2 - 4x + 1 < 4x + 61.

Затем перенесем все члены в одну сторону: 4x^2 - 8x - 60 < 0.

Теперь построим график соответствующей квадратичной функции y = 4x^2 - 8x - 60.

Построение графика:

1. Найдем вершину параболы. Для этого воспользуемся формулой x = -b / (2a), где a = 4, b = -8. Подставим значения и найдем x: x = -(-8) / (2*4) = 1.

Таким образом, вершина параболы имеет координаты (1, y).

2. Найдем значения функции y для нескольких значений x, чтобы построить график. Выберем значения x, которые находятся с обеих сторон от вершины параболы. Например, x = 0, x = 2.

Подставим значения x в функцию: y(0) = 4*0^2 - 8*0 - 60 = -60, y(1) = 4*1^2 - 8*1 - 60 = -64, y(2) = 4*2^2 - 8*2 - 60 = -52.

3. Построим график, используя найденные значения. Построим точки (0, -60), (1, -64) и (2, -52) на координатной плоскости и соединим их гладкой кривой, которая представляет параболу.

График будет выглядеть следующим образом:

       ^
       |
   -80 |                       .
   -70 |                     .
   -60 |                   .
   -50 |            .
   -40 |        .
   -30 |   .
   -20 |.
       |___________________________>
       0   1   2   3   4   5   6   7
   

Теперь перейдем ко второму неравенству: -3(x^2+1) ≥ 3x - 39.

Раскроем скобки: -3x^2 - 3 ≥ 3x - 39.

Перенесем все члены в одну сторону: -3x^2 - 3x - 36 ≥ 0.

Теперь построим график соответствующей квадратичной функции y = -3x^2 - 3x - 36.

Построение графика:

1. Найдем вершину параболы. Воспользуемся формулой x = -b / (2a), где a = -3, b = -3. Подставим значения и найдем x: x = -(-3) / (2*(-3)) = 0.5.

Таким образом, вершина параболы имеет координаты (0.5, y).

2. Найдем значения функции y для нескольких значений x, чтобы построить график. Выберем значения x, которые находятся с обеих сторон от вершины параболы. Например, x = -1, x = 1.

Подставим значения x в функцию: y(-1) = -3*(-1)^2 - 3*(-1) - 36 = -36, y(0.5) = -3*(0.5)^2 - 3*(0.5) - 36 = -37.75, y(1) = -3*1^2 - 3*1 - 36 = -42.

3. Построим график, используя найденные значения. Построим точки (-1, -36), (0.5, -37.75) и (1, -42) на координатной плоскости и соединим их гладкой кривой, которая представляет параболу.

График будет выглядеть следующим образом:

       ^
       |
   -50 |                .
   -40 |              .
   -30 |           .
   -20 |       .
   -10 |   .
       |_______________________
       <_______________________>
       -2   -1   0   1   2   3
   

Теперь, чтобы найти область, в которой выполняются оба неравенства, нужно найти пересечение двух графиков. Эта область будет представлять значения x, для которых оба неравенства выполнены одновременно.

На графике видно, что область пересечения графиков находится в интервале между x = -1 и x = 0.5.

Таким образом, решением системы неравенств будет: -1 ≤ x ≤ 0.5.