Question

Вычислите площадь фигуры ограниченной линиями у=3-2х-x^2,x+y=1

Answer 1

ДАНО
y1= - x^2-2x+6
y2 = -x+1
Разность функций
F = 5 - x^2 -x
Площадь фигуры - интеграл
$S= \int\limits^a_b {5 x- \frac{x^3}{3} }- \frac{x}{2} \, dx$
Пределы интегрирования
$a= \frac{1}{2}(-1+ \sqrt{21}),b= \frac{1}{2}(-1- \sqrt{21)}$
S =  3.5√21 ≈ 16.039 - ОТВЕТ

Answer 2

Даны линии у=3-2х-x^2, x+y=1.
Находим границы фигуры:
-x² - 2x + 3 = 1 - x,
-x² - x + 2 = 0 или, поменяв знаки, х² + х - 2 = 0.
Квадратное уравнение, решаем относительно x: Ищем дискриминант:
D=1^2-4*1*(-2)=1-4*(-2)=1-(-4*2)=1-(-8)=1+8=9;Дискриминант больше 0, уравнение имеет 2 корня:
x_1=(√9-1)/(2*1)=(3-1)/2=2/2=1;x_2=(-√9-1)/(2*1)=(-3-1)/2=-4/2=-2.Так как прямая у = -х + 1 проходит выше параболы у = -x² - 2x + 3 на найденном промежутке, то площадь равна интегралу:
$S= \int\limits^1_{-2} {((-x+1)-(-x^2-2x+3))} \, dx = \int\limits^1_{-2} {(x^2+x-2)} \, dx=$$\frac{x^3}{3}+ \frac{x^2}{2}-2x|_{-2}^1=- \frac{8}{3}+ \frac{4}{2}+4-( \frac{1}{3}+ \frac{1}{2}-2)= \frac{27}{6}= \frac{9}{2}=4,5.$

Answer 3

Для вычисления площади фигуры, ограниченной кривыми, необходимо найти точки их пересечения, а затем построить интеграл для расчета площади. Давайте начнем с поиска точек пересечения кривых.

1. Найти точки пересечения кривых: Для этого нам нужно решить систему уравнений: \[ \begin{cases} y = 1 - x \\ y = 3 - 2x - x^2 \end{cases} \]

Решая эту систему уравнений, мы найдем значения x и y, которые соответствуют точкам пересечения кривых.

2. Построить интеграл для расчета площади: После того как мы найдем точки пересечения кривых, мы сможем построить интеграл для расчета площади фигуры, ограниченной этими кривыми. Площадь фигуры ограниченной кривыми \(y = f(x)\) и \(y = g(x)\) на отрезке \([a, b]\) может быть вычислена по формуле: \[ S = \int_{a}^{b} |f(x) - g(x)| \, dx \]

Где \(|f(x) - g(x)|\) - это модуль разности функций \(f(x)\) и \(g(x)\) на заданном отрезке.

3. Вычислить площадь: После построения интеграла, мы сможем вычислить значение интеграла для получения площади фигуры.

Давайте начнем с решения системы уравнений для нахождения точек пересечения кривых \(y = 1 - x\) и \(y = 3 - 2x - x^2\).