Question

Внутри треугольника ABC отмечена точка М. Через нее проведена прямая, параллельная АС и пересекающая стороны АВ и ВС соответсвенно в точках D и Е, причём MD=AD и МЕ=ЕС. Докажите, что точка М - точка пересечения биссектрис треугольника.

Answer 1

Раз AD=DM, угол MAD равен углу AMD. Углы AMD и MAC равны как внутренние накрест лежащие при пересечении параллельных прямых. Следовательно, равны углы MAD и MAC, откуда следует, что AM - биссектриса угла A треугольника ABC. Аналогично доказывается, что CM - биссектриса угла C. 

Answer 2

Задача

Внутри треугольника ABC отмечена точка M. Через нее проведена прямая, параллельная AC и пересекающая стороны AB и BC соответственно в точках D и E, причем MD = AD и ME = EC. Докажите, что точка M - точка пересечения биссектрис треугольника.

Решение

Для доказательства этого утверждения, нам понадобится использовать свойства параллельных линий и равенства отрезков.

Мы знаем, что прямая, проведенная через точку M и параллельная AC, пересекает стороны AB и BC в точках D и E соответственно. Также дано, что MD = AD и ME = EC.

Для начала, давайте рассмотрим треугольник ABD. Мы знаем, что MD = AD, что означает, что треугольник ABD является равнобедренным треугольником с основанием AB. Таким образом, угол BAD равен углу BDA.

Теперь рассмотрим треугольник CBE. Мы знаем, что ME = EC, что означает, что треугольник CBE является равнобедренным треугольником с основанием BC. Таким образом, угол CBE равен углу CEB.

Теперь, обратим внимание на треугольник ABC. Мы знаем, что угол BAC является общим для треугольников ABD и ABC, а угол BCA является общим для треугольников CBE и ABC. Также, углы BAD и CBE равны углам BDA и CEB соответственно.

Из этих равенств углов следует, что угол BAM равен углу MBC. Таким образом, прямая, проведенная через точку M, является биссектрисой угла ABC.

Таким образом, мы доказали, что точка M является точкой пересечения биссектрис треугольника ABC.

Ответ

Точка M является точкой пересечения биссектрис треугольника ABC.