Question

Сумма двух задуманных чисел равна 35,Если одно из них увеличить в 4 раза, а другое -на 30,то сумма полученных чисел будет равна 125.Найдите задуманные числа. 13. Геометрическая задача: В треугольнике ABC проведены биссектрисы BD и АК. ∠A=60°, ∠В=82°. AD, BE и CF — биссектрисы, пересекающиеся в точке O. Найдите ∠AOВ. Ответ дайте в градусах.

Answer 1

Решение задачи 1 на фото

Answer 2

х+y=35
4x+y+30=125

y=35-x
4x+35-x+30=125

y=35-x
3x=125-35-30
 
y=35-x
x=60

y=35-60
x=60

y=-25
x=60

каждые 2 примера брать в фигурные скобки 

Answer 3

Для решения первой задачи, давайте представим, что задуманные числа обозначены как x и y.

Условие задачи гласит, что сумма двух задуманных чисел равна 35:

x + y = 35. (уравнение 1)

Также условие гласит, что если одно из чисел увеличить в 4 раза, а другое уменьшить на 30, то сумма полученных чисел будет равна 125:

(4x) + (y - 30) = 125. (уравнение 2)

Давайте решим эту систему уравнений методом подстановки.

Сначала решим уравнение 1 относительно одной из переменных:

x = 35 - y. (уравнение 3)

Теперь подставим это значение в уравнение 2:

(4(35 - y)) + (y - 30) = 125.

Упростим это уравнение:

140 - 4y + y - 30 = 125.

Сгруппируем переменные:

-3y + 110 = 125.

Перенесем 110 на другую сторону уравнения:

-3y = 125 - 110.

Выполним вычисления:

-3y = 15.

Теперь разделим обе части уравнения на -3, чтобы выразить y:

y = 15 / -3.

Выполним деление:

y = -5.

Теперь, чтобы найти x, подставим найденное значение y в уравнение 3:

x = 35 - (-5).

Упростим это выражение:

x = 35 + 5.

x = 40.

Таким образом, задуманные числа равны 40 и -5.

Теперь перейдем ко второй задаче.

Геометрическая задача: Нахождение угла ∠AOВ

У нас есть треугольник ABC, в котором проведены биссектрисы BD и АK. Угол A равен 60°, угол В равен 82°. Точка пересечения биссектрис AD, BE и CF обозначена как O. Мы должны найти угол ∠AOВ.

Для решения этой задачи, воспользуемся свойством биссектрисы треугольника, которое гласит, что биссектриса делит противоположную сторону треугольника на отрезки пропорциональные смежным сторонам треугольника.

Так как ∠A равен 60°, а ∠B равен 82°, мы можем использовать это свойство для нахождения отношения AB к BC.

Отношение AB к BC равно отношению синусов соответствующих углов:

AB/BC = sin(∠A)/sin(∠B).

Подставим значения углов:

AB/BC = sin(60°)/sin(82°).

Вычислим значения синусов:

AB/BC = 0.866/0.998.

AB/BC ≈ 0.868.

Теперь, давайте рассмотрим треугольник AOB. У нас есть две биссектрисы AD и BE, которые пересекаются в точке O. Так как биссектриса делит противоположную сторону на отрезки пропорциональные смежным сторонам, мы можем использовать это свойство для нахождения отношения AO к OB.

Отношение AO к OB равно отношению смежных сторон треугольника AOB.

Так как AD является биссектрисой, мы можем сказать, что отношение AD к AB равно отношению OD к OB:

AD/AB = OD/OB.

Также, так как BE является биссектрисой, мы можем сказать, что отношение BE к BC равно отношению OE к OB:

BE/BC = OE/OB.

Так как AB/BC ≈ 0.868, мы можем записать:

AD/BC ≈ 0.868.

BE/BC ≈ 0.868.

Теперь мы можем выразить AD и BE через BC:

AD = 0.868 * BC.

BE = 0.868 * BC.

Теперь рассмотрим треугольник OBC. У нас есть две биссектрисы BE и CF, которые пересекаются в точке O. Так как биссектриса делит противоположную сторону на отрезки пропорциональные смежным сторонам, мы можем использовать это свойство для нахождения отношения BO к OC.

Отношение BO к OC равно отношению смежных сторон треугольника OBC.

Так как BE является биссектрисой, мы можем сказать, что отношение BE к BC равно отношению OE к OC:

BE/BC = OE/OC.

Также, так как CF является биссектрисой, мы можем сказать, что отношение CF к BC равно отношению OF к OC:

CF/BC = OF/OC.

Так как BE/BC ≈ 0.868, мы можем записать:

BE/BC ≈ 0.868.

CF/BC ≈ 0.868.

Теперь мы можем выразить BE и CF через BC:

BE = 0.868 * BC.

CF = 0.868 * BC.

Теперь рассмотрим треугольник AOF. Мы хотим найти угол ∠AOВ.

Из предыдущих выкладок мы знаем, что AD = 0.868 * BC и BE = 0.868 * BC.

Так как AD и BE пересекаются в точке O, мы можем записать:

AD + BE = AO.

0.868 * BC + 0.868 * BC = AO.

2 * 0.868 * BC = AO.

1.736 * BC = AO.

Теперь рассмотрим треугольник BOF.

Из предыдущих выкладок мы знаем, что CF = 0.868 * BC и BE = 0.868 * BC.

Так как CF и BE пересекаются в точке O, мы можем записать:

CF + BE = BO.

0.868 * BC + 0.868 * BC = BO.

2 * 0.868 * BC = BO.

1.736 * BC = BO.

Таким образом, мы видим, что AO и BO равны.

AO = BO = 1.736 * BC.

Теперь рассмотрим треугольник ABC. Мы знаем, что ∠A = 60°, ∠B = 82° и ∠C = 180° - (∠A + ∠B), так как сумма углов треугольника равна 180°.

∠C = 180° - (60° + 82°).

∠C = 180° - 142°.

∠C = 38°.

Так как треугольник AOC является треугольником суммы ∠A + ∠C, мы можем записать:

∠AOC = ∠A + ∠C.

∠AOC = 60° + 38°.

∠AOC = 98°.

Таким образом, угол ∠AOВ равен 98°.