Question

исследование функции y=(x^2)/(x^2-1)

Answer 1

1. Область определения функции: $x^2-1\ne 0;\,\,\,\,\, \Rightarrow\,\, x\ne \pm 1$
$D(f)=(-\infty;-1)\cup(-1;1)\cup(1;+\infty)$
2. Исследуем на четность.
$y(-x)= \dfrac{(-x)^2}{(-x)^2-1} = \dfrac{x^2}{x^2-1}=y(x)$
Поскольку $y(-x)=y(x)$, то эта функция четная.

3. Функция не периодическая.
4. Точки пересечения с осью Ох и Оу.
   4.1. С осью Ох (если у=0)
$\dfrac{x^2}{x^2-1} =0;\,\,\,\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\, x^2=0;\,\,\,\,\,\,\,\, \Rightarrow\,\,\,\,\, x=0$
  4.2. C осью Оу (если х = 0)
$y=0$

5. Точки экстремумы и монотонность функции:
$y'= \dfrac{(x^2)'(x^2-1)-x^2(x^2-1)'}{(x^2-1)^2} =- \dfrac{2x}{(x^2-1)^2}$
Приравниваем производную функции к нулю:
$- \dfrac{2x}{(x^2-1)^2}=0;\,\,\,\,\,\,\, \Rightarrow\,\,\,\,\,\, x=0$

__+___(-1)__+___(0)___-___(1)___-____
Функция возрастает на промежутке $x \in (-\infty;-1)$ и $x \in (-1;0)$, а убывает на промежутке $x \in (0;1)$ и $x\in (1;+\infty)$
В окрестности точки $x=0$ производная функции меняет знак с (+) на (-), следовательно, точка $x=0$ - точка максимума.

5. Точки перегиба.
Вычисляем вторую производную функции:
$\bigg(- \dfrac{2x}{(x^2-1)^2}\bigg)'=- \dfrac{(2x)'(x^2-1)^2-2x((x^2-1)^2)'}{(x^2-1)^4} =\\ \\ \\ =- \dfrac{2(x^2-1)^2-2x\cdot 2(x^2-1)}{(x^2-1)^4} = \dfrac{2(3x^2+1)}{(x^2-1)^3}$

Приравниваем к нулю
$\dfrac{2(3x^2+1)}{(x^2-1)^3} =0\\ \\ 3x^2+1=0$
Уравнение решений не имеет, так как левая часть уравнения принимает только положительные значения.

___+____(-1)___-____(1)___+___
На промежутке $x \in (-\infty;-1)$ и $x \in (1;+\infty)$ функция вогнута, а на промежутке $x \in (-1;1)$ функция выпукла.

Вертикальные асимптоты: $x=\pm1$

Горизонтальные асимптоты: 
  $\displaystyle \dfrac{x^2}{x^2-1} = \dfrac{x^2\pm1}{x^2-1} =1+ \frac{1}{x^2-1} \to_{n\to \infty}1$
$y=1$ - горизонтальная асимтота

Наклонных асимптот нет.

Answer 2

Для начала исследуем функцию y=(x^2)/(x^2-1) на область определения. Заметим, что знаменатель не может быть равен нулю, поэтому x^2-1 ≠ 0, откуда x ≠ 1 и x ≠ -1. Таким образом, областью определения функции является множество всех действительных чисел, кроме 1 и -1.

Теперь проанализируем поведение функции в окрестности точек x=1 и x=-1. При x=1 функция не определена, так как знаменатель обращается в ноль, поэтому в этой точке имеется вертикальная асимптота. При x=-1 функция также не определена из-за знаменателя, поэтому в этой точке также имеется вертикальная асимптота.

Далее найдем производные функции. Имеем y'=(2x*(x^2-1)-x^2*2x)/(x^2-1)^2 = (2x^3-2x-2x^3)/(x^2-1)^2 = -2x/(x^2-1)^2.

Теперь найдем точки экстремума функции. Для этого приравняем производную к нулю: -2x/(x^2-1)^2 = 0. Решая это уравнение, получаем x=0. Исследуем знаки производной в окрестности точки x=0: при x<0 производная отрицательна, при x>0 производная положительна. Значит, в точке x=0 функция имеет локальный минимум.

Теперь найдем точки перегиба функции. Для этого найдем вторую производную: y''=(-2*(x^2-1)^2-2x*2*(x^2-1)*2x)/(x^2-1)^4 = (2x^4-6x^2+2)/(x^2-1)^3. Приравняв вторую производную к нулю и решив уравнение, получим x=±√(3/2). Исследуя знаки второй производной в окрестности точек x=±√(3/2), можно установить, что у функции есть точки перегиба в этих точках.

Таким образом, исследование функции y=(x^2)/(x^2-1) позволяет установить, что она имеет вертикальные асимптоты в точках x=1 и x=-1, локальный минимум в точке x=0 и точки перегиба в точках x=±√(3/2).