Question

Найти полный дифференциал функции заданной уравнением z^3-3*x*y*z=a^3

Answer 1

$z^3-3xyz=a^3\; ,\; \; a=const\\\\F(x,y,z)=z^3-3xyz-a^3\\\\\frac{\partial z}{\partial x}=-\frac{\frac{\partial F}{\partial x}}{\frac{\partial F}{\partial z}}=-\frac{-3yz}{3z^2-3xy}=\frac{yz}{z^2-xy}\\\\\frac{\partial z}{\partial y}=-\frac{\frac{\partial F}{\partial y}}{\frac{\partial F}{\partial z}}=-\frac{-3xz}{3z^2-3xz}=\frac{yz}{z^2-xz}\\\\dz= \frac{yz\, dx}{z^2-xy} + \frac{xz\, dy}{z^2-xz}$

Answer 2

Чтобы найти полный дифференциал функции, заданной уравнением z^3 - 3xyz = a^3, мы сначала должны выразить z как функцию от x, y и a. Затем мы найдем частные производные этой функции по x, y и a, и используем их для вычисления полного дифференциала.

Выражение z в виде функции x, y и a

Для выражения z в виде функции x, y и a, мы можем воспользоваться явным методом дифференцирования. Предположим, что z = f(x, y, a). Тогда уравнение z^3 - 3xyz = a^3 можно переписать в виде:

f(x, y, a)^3 - 3xyf(x, y, a) = a^3.

Из этого уравнения мы можем найти выражение для f(x, y, a):

f(x, y, a) = (a^3 + 3xy)^(1/3).

Теперь у нас есть явное выражение для z в виде функции x, y и a.

Полный дифференциал

Полный дифференциал функции z(x, y, a) может быть выражен следующим образом:

dz = ∂z/∂x * dx + ∂z/∂y * dy + ∂z/∂a * da,

где ∂z/∂x, ∂z/∂y и ∂z/∂a представляют собой частные производные функции z(x, y, a) по x, y и a соответственно.

Вычисление частных производных

Вычислим частные производные ∂z/∂x, ∂z/∂y и ∂z/∂a, используя явное выражение для f(x, y, a):

∂z/∂x = ∂f/∂x = (∂f/∂x) / (∂f/∂z) = 3y / (3f^2), ∂z/∂y = ∂f/∂y = (∂f/∂y) / (∂f/∂z) = -3x / (3f^2), ∂z/∂a = ∂f/∂a = (∂f/∂a) / (∂f/∂z) = 1 / (3f^2),

где f = (a^3 + 3xy)^(1/3).

Полный дифференциал

Теперь мы можем выразить полный дифференциал dz в терминах dx, dy и da:

dz = (∂z/∂x) * dx + (∂z/∂y) * dy + (∂z/∂a) * da.

Подставив значения частных производных, получим полный дифференциал:

dz = (3y / (3f^2)) * dx + (-3x / (3f^2)) * dy + (1 / (3f^2)) * da,

где f = (a^3 + 3xy)^(1/3).

И это будет полный дифференциал функции z, заданной уравнением z^3 - 3xyz = a^3.