Question

У паралелограмі ABCD кут а дорівнює 60, точка E середина сторони AD, Знайдіть сторони параоелограма якщо BE=√3, CE=√7

Answer 1

С рисунком будет понятнее, но я его рисовать не буду.
Угол BAE=60°, так как это параллелограмм, то и угол BCD тоже будет равен 60°. Значит остальные углы ABC=CDA=(360°-2*60°)/2 = (360°-120°)/2 = 240°/2 = 120°
Теперь обозначим (для простоты записи) стороны параллелограмма:
x = BC = AD
y = AB = CD
Рассмотрим треугольник ABE. Запишем для стороны BE выражение по теореме косинусов (я сразу подставлю числовые значения для экономии места):
(√3)² = x² + y² - 2xycos60°
3 = x² + y² - 2xy*1/2 = x² + y² - xy
Теперь то же самое для треугольника CDE:
(√7)² = x² + y² - 2xycos120°
7 = x² + y² - 2xy*(-1/2) = x² + y² + xy
А теперь вычтем из этого выражения предыдущее (которое для треугольника ABE):
7 - 3 = x² + y² + xy - (x² + y² - xy)
4 = 2xy
xy=2
x=2/y
Мы получили выражение, связывающее х и у и позволяющее заменить одно на другое. Подставляем например в первое из выражений:
3 = x² + y² - xy = (2/у)² + у² - (2/у)у = (2/у)² + у² - 2
Переносим всё вправо:
y² - 5 + 4/(y²) = 0
Домножаем на y² (ведь сторона явно не нулевая, можем это спокойно делать):
y^4 - 5у² + 4 = 0
Биквадратное уравнение получилось. Делаем чисто техническую замену t = у²:
t² - 5t + 4 = 0
Решаем:
D = 25 - 4*4 = 9 = 3²
t1,2 = (5+-3) / 2 = {4;1}
Значит y может принимать значения или √4 = 2, или √1 = 1.
Отсюда х = 2/у = {1;2}, т.е. возможные пары x,y это (1;2) или (2;1).

Answer 2

Для розв'язання цієї задачі нам знадобиться використати властивості паралелограма. Основною властивістю паралелограма є те, що протилежні сторони паралельні та рівні.

Знаходження сторін паралелограма

Ми знаємо, що точка E є серединою сторони AD. Оскільки точка E є серединою сторони, то сторона AE рівна стороні ED. Так як паралелограм ABCD має протилежні сторони рівні, то сторона BC також рівна стороні AD.

Отже, ми маємо наступні рівності сторін паралелограма:

AE = ED BC = AD

Знаходження значення сторін паралелограма

Ми знаємо, що BE = √3 та CE = √7. Ми також знаємо, що кут а паралелограма ABCD дорівнює 60 градусів. З цієї інформації ми можемо скористатися тригонометрією, щоб знайти значення сторін паралелограма.

Давайте спочатку розглянемо трикутник BCE. У цьому трикутнику ми знаємо дві сторони (BE і CE) і кут між ними (кут а, який дорівнює 60 градусів). За допомогою косинусного правила, ми можемо знайти третю сторону BC:

BC^2 = BE^2 + CE^2 - 2 * BE * CE * cos(a)

Підставляючи відомі значення, отримуємо:

BC^2 = (√3)^2 + (√7)^2 - 2 * √3 * √7 * cos(60)

BC^2 = 3 + 7 - 2 * √21 * 0.5

BC^2 = 10 - √21

Отже, ми знаходимо, що BC = √(10 - √21).

Тепер давайте розглянемо трикутник ABE. У цьому трикутнику ми знаємо одну сторону (BE) і кут (кут а, який дорівнює 60 градусів). За допомогою косинусного правила, ми можемо знайти другу сторону AE:

AE^2 = BE^2 + AB^2 - 2 * BE * AB * cos(a)

Але ми також знаємо, що AE = ED, тому:

ED^2 = BE^2 + AB^2 - 2 * BE * AB * cos(a)

Замінивши відомі значення, отримуємо:

(ED)^2 = (√3)^2 + AB^2 - 2 * √3 * AB * cos(60)

ED^2 = 3 + AB^2 - 2 * √3 * AB * 0.5

ED^2 = 3 + AB^2 - √3 * AB

Ми також знаємо, що BC = AD, отже AB = BC = √(10 - √21).

Підставляючи відомі значення, отримуємо:

(ED)^2 = 3 + (√(10 - √21))^2 - √3 * (√(10 - √21))

(ED)^2 = 3 + 10 - √21 - √3 * √(10 - √21)

(ED)^2 = 13 - √21 - √3 * √(10 - √21)

Отримали значення квадрата сторони ED. Щоб знайти саму сторону ED, достатньо взяти квадратний корінь з отриманого значення:

ED = √(13 - √21 - √3 * √(10 - √21))

Таким чином, ми знайшли значення сторін паралелограма:

BC = √(10 - √21) ED = √(13 - √21 - √3 * √(10 - √21))

Це є розв'язок вашої задачі.