Question

Решить интеграл

Answer 1

$\int\ {(x^2+2x)cos2x} \, dx\\u=x^2+2x=\ \textgreater \ du=(2x+2)dx\\dv=cos2xdx=\ \textgreater \ v=\frac{1}{2}sin2x\\ \int{(x^2+2x)cos2x} dx=\frac{(x^2+2x)sin2x}{2}-\frac{1}{2}\int sin2x(2x+2)dx\\\\\int sin2x(2x+2)dx\\u=2x+2=\ \textgreater \ du=2dx\\dv=sin2x=\ \textgreater \ v=-\frac{1}{2}cos2x\\\int sin2x(2x+2)dx=-\frac{(2x+2)cos2x}{2}+\int cos2xdx=\\-\frac{(2x+2)cos2x}{2}+\frac{1}{2}sin2x\\\\ \int\ {(x^2+2x)cos2x} \, dx=\frac{(x^2+2x)sin2x}{2}-\frac{1}{2}(-\frac{(2x+2)cos2x}{2}+\frac{1}{2}sin2x)=\\=\frac{(x^2+2x)sin2x}{2}+\frac{(2x+2)cos2x}{4}-\frac{sin2x}{4}+C=$
$=\frac{(2x^2+4x)sin2x-sin2x}{4}+\frac{(2x+2)cos2x}{4}+C=\\=\frac{sin2x(2x^2+4x-1)}{4}+\frac{(2x+2)cos2x}{4}+C=\\=\frac{1}{4}(sin2x(2x^2+4x-1)+2cos2x(x+1))$

Answer 2

Интегралы - это математические объекты, которые представляют собой обратную операцию к дифференцированию. Решение интегралов может быть сложной задачей, и для каждого интеграла требуется применение соответствующих методов и техник. Я могу помочь вам решить конкретный интеграл, если вы предоставите его формулу или уравнение.

Пример решения интеграла

Давайте рассмотрим пример решения интеграла. Предположим, что мы хотим решить интеграл ∫(x*sin(5x))dx. Для этого интеграла можно использовать метод интегрирования по частям.

1. Применим метод интегрирования по частям, где u = x и dv = sin(5x)dx: - du = dx - v = -cos(5x)/5

2. Используем формулу интегрирования по частям: ∫u*dv = uv - ∫v*du. Применяя эту формулу, получим: ∫(x*sin(5x))dx = -x*cos(5x)/5 - ∫(-cos(5x)/5)dx.

3. Вычислим оставшийся интеграл: ∫(-cos(5x)/5)dx = -1/5 * ∫cos(5x)dx = -1/5 * (sin(5x)/5).

4. Итак, окончательное решение интеграла будет: ∫(x*sin(5x))dx = -x*cos(5x)/5 + sin(5x)/25 + C, где C - произвольная постоянная.

Таким образом, интеграл ∫(x*sin(5x))dx равен -x*cos(5x)/5 + sin(5x)/25 + C.

Заключение

Решение интегралов может быть сложной задачей, и для каждого интеграла требуется применение соответствующих методов и техник. Если у вас есть конкретный интеграл, который вы хотите решить, пожалуйста, предоставьте его формулу или уравнение, и я помогу вам с его решением.