Question

Докажите что произведение (n+3)(n+4) является четным при любом натуральном n.

Answer 1

Один из множителей в любом случае будет четным числом  значит произведение тоже делится на 2

Answer 2

Доказательство: произведение (n + 3)(n + 4) является четным при любом натуральном n

Для доказательства того, что произведение (n + 3)(n + 4) является четным при любом натуральном n, мы можем использовать математическое рассуждение.

Для начала, давайте рассмотрим два случая: когда n является четным и когда n является нечетным.

Случай 1: n является четным

Если n является четным, то мы можем записать n в виде n = 2k, где k - некоторое натуральное число.

Тогда произведение (n + 3)(n + 4) можно записать как (2k + 3)(2k + 4).

Раскрыв скобки, получим (2k + 3)(2k + 4) = 4k^2 + 14k + 12.

Мы видим, что каждый из трех слагаемых 4k^2, 14k и 12 является четным числом, так как каждое из них содержит множитель 2.

Следовательно, произведение (n + 3)(n + 4) является четным, когда n является четным.

Случай 2: n является нечетным

Если n является нечетным, то мы можем записать n в виде n = 2k + 1, где k - некоторое натуральное число.

Тогда произведение (n + 3)(n + 4) можно записать как (2k + 1 + 3)(2k + 1 + 4).

Раскрыв скобки, получим (2k + 4)(2k + 5) = 4k^2 + 18k + 20.

Мы видим, что каждый из трех слагаемых 4k^2, 18k и 20 является четным числом, так как каждое из них содержит множитель 2.

Следовательно, произведение (n + 3)(n + 4) является четным, когда n является нечетным.

Таким образом, мы доказали, что произведение (n + 3)(n + 4) является четным при любом натуральном n, независимо от того, является ли n четным или нечетным.

Заключение

Мы доказали, что произведение (n + 3)(n + 4) является четным при любом натуральном n, используя математическое рассуждение и разбивая на два случая: когда n является четным и когда n является нечетным. В обоих случаях мы получили, что произведение содержит только четные слагаемые, что делает его четным числом.

Примечание: Данное доказательство основано на математическом рассуждении и не требует ссылок на внешние источники.