Question

Решите тригонометрическое неравенство sinx+cos2x>1

Answer 1

Sinx + cos2x  >  1
sinx + cos^2x - sin^2x   >  sin^2x+cos^2x
sinx  - 2sin^2x > 0
sinx(1 - 2sinx) > 0
Получили две системы уравнений
{sinx > 0
{1-2sinx>0
и вторая система уравнений
{sinx<0
{1-2sinx<0
Решим первую систему уравнений
sinx = 0 или x = пи*n
sinx > 0  если x принадлежит (2пи*n; пи*(2n+1))
1 - 2sinx = 0 
sinx=1/2  или х = (-1)^(n)*(пи/6)+пи*n
 1 - 2sinx > 0   или sinx< 1/2
если x принадлежит (-пи/6+пи(2n-1); пи/6+2пи*n) 
Система имеет решение если
х принадлежит (2пи*n ; пи/6+2пи*n)U(5пи/6+2пи*n;пи(2n+1))
 Решим вторую систему уравнений 
{sinx<0
{ 1-2sinx < 0
или
{sinx<0
{sinx>1/2 
Вторая система не имеет решения
Поэтому можно окончательно записать
что неравенство имеет решение если
х принадлежит  (2пи*n ; пи/6+2пи*n)U(5пи/6+2пи*n;пи(2n+1))
Ответ: (2пи*n ; пи/6+2пи*n)U(5пи/6+2пи*n;пи(2n+1))

Answer 2

Sinx  +  cos2x  >  1
sinx  +  cos^2x  -  sin^2x  -  1  >  0
sinx  -  sin^2x  -  sin^2x  >  0
sinx  -  2  sin^2x  >  0
sinx(1  -  sinx)  >  0
1)      sinx  =  0    ---->  x  =  pin
         sinnx  >  0  при  pin  <  x  <  pi  +  pin
2)      1  -  sinx    >  0,  при  любом  х  кроме  х  =  pi/2  +  pin
Ответ.  (pin;  pi/2  +  pin) U (pi/2  +pin;  i  +pin),  где  n  принадлежит  Z

Answer 3

Для решения данного тригонометрического неравенства, мы можем использовать тригонометрическую подстановку.

Для начала заметим, что cos2x = 1 - 2sin^2x. Подставим это выражение в исходное неравенство:

sinx + (1 - 2sin^2x) > 1

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

-2sin^2x + sinx + 1 > 1

Теперь приведем все слагаемые в левой части неравенства в одну квадратичную функцию:

-2sin^2x + sinx > 0

Теперь решим квадратное уравнение -2sin^2x + sinx = 0. Для этого вынесем sinx за скобку:

sinx(-2sinx + 1) = 0

Из этого уравнения получаем два решения: sinx = 0 и -2sinx + 1 = 0, что соответствует sinx = 0 и sinx = 1/2.

Теперь найдем значения x, удовлетворяющие этим условиям. Для sinx = 0 получаем x = kπ, где k - целое число. Для sinx = 1/2 получаем x = π/6 + 2πk, где k - целое число.

Таким образом, решение неравенства sinx + cos2x > 1: x ∈ (kπ, π/6 + 2πk), где k - целое число.