Question

Докажите, что если a+b+c+d = 0 и ab+cd+ac+bc+ad+bd = 0 то a = b = c = d = 0.

Answer 1

Возведём равенство $a+b+c+d=0$ в квадрат.

$(a + b + c + d)^2 = 0\\ a^2 + b^2 + c^2 + d^2 + 2ab + 2ac + 2ad + 2bc + 2bd + 2cd = 0\\ a^2 + b^2+c^2+d^2+2(ab+ac+ad+bc+bd+cd)=0$

Выражение в скобках по условию равно нулю.

$a^2+b^2+c^2+d^2+2\cdot0=0\\ a^2+b^2+c^2+d^2=0$

Квадрат числа — неотрицательная величина, поэтому чтобы сумма квадратов была равна нулю, каждый квадрат должен быть равен нулю, что будет выполнено, только если a = b = c = d = 0.

Answer 2

Для доказательства данного утверждения, давайте предположим, что a, b, c и d не равны 0. Тогда мы можем разделить обе части исходного уравнения на abcd, чтобы получить:

(a+b+c+d)/(abcd) = 0

Теперь давайте рассмотрим каждое слагаемое в числителе отдельно:

(a/abcd) + (b/abcd) + (c/abcd) + (d/abcd) = 0

Разделив каждое слагаемое на abcd, получим:

1/bcd + 1/acd + 1/abd + 1/abc = 0

Теперь мы можем записать каждое слагаемое как обратную величину:

1/bcd = 1/(bc * d) = 1/bc * 1/d 1/acd = 1/(ac * d) = 1/ac * 1/d 1/abd = 1/(ab * d) = 1/ab * 1/d 1/abc = 1/(ab * c) = 1/ab * 1/c

Подставив эти значения обратных величин обратно в уравнение, получим:

(1/bc * 1/d) + (1/ac * 1/d) + (1/ab * 1/d) + (1/ab * 1/c) = 0

Теперь мы можем вынести общий знаменатель:

(1/d) * (1/bc + 1/ac + 1/ab + 1/c) = 0

Так как abcd ≠ 0 (по условию), то 1/d ≠ 0. Следовательно, чтобы произведение равнялось 0, необходимо, чтобы сумма слагаемых была равна 0:

1/bc + 1/ac + 1/ab + 1/c = 0

Умножим обе части уравнения на abcd:

(abcd/bc) + (abcd/ac) + (abcd/ab) + (abcd/c) = 0

Теперь мы можем упростить выражение:

ad + bd + cd + ab = 0

Заметим, что это исходное условие, которое дано в задаче. Следовательно, если a+b+c+d = 0 и abcd ≠ 0, то a=b=c=d=0.

Таким образом, мы доказали, что если a+b+c+d = 0 и abcd = 0, то a=b=c=d=0.