Question

Найдите объем пирамиды в основании которой лежит параллелограмм с диагоналями 4 и 2 корней из 3 если угол между ними 30 градусов а высота пирамиды равна меньшей стороне основания

Answer 1

ABCD - параллелограмм, лежащий в основании пирамиды ABCDE.

Диагонали параллелограмма AC и BD пересекаются в точке О и этой точкой делятся пополам, т.е. AO = OC = 2, BO = OD = корень из 3.

Из треугольника AOB по теореме косинусов:

$\\AB^2=AO^2+BO^2-2\cdot AO\cdot BO\cdot\cos\hat{AOB}\\AB^2=4+3-2\cdot2\cdot\sqrt3\cdot\frac{\sqrt3}{2}=7-2\cdot\sqrt3\cdot\sqrt3=7-6=1\\ AB=1$

AB = CD - меньшая строна параллелограмма, т.к. лежит против меньшего угла (угол AOB = 30⁰, угол BOC = 150⁰). То есть высота пирамиды OE = 1.

Площадь основания (параллелограмма):

$\\S_{OCH}=\frac12AC\cdot BD\cdot\sin\hat{AOB}=\frac12\cdot4\cdot2\sqrt3\cdot\frac12=2\sqrt3$

Объём пирамиды:

$\\V=\frac13S_{OCH}\cdot h=\frac13\cdot2\sqrt3\cdot1=\frac{2\sqrt3}3$

Answer 2

Calculating the Volume of the Pyramid

To calculate the volume of the pyramid, we can use the formula:

Volume = (1/3) * Base Area * Height

Given that the base of the pyramid is a parallelogram with diagonals of 4 and 2√3 and the angle between them is 30 degrees, and the height of the pyramid is equal to the shorter side of the base, we can proceed with the calculations.

Finding the Base Area of the Parallelogram

The formula for the area of a parallelogram using its diagonals and the angle between them is:

Area = (1/2) * d1 * d2 * sin(θ)

Where: - d1 and d2 are the diagonals - θ is the angle between the diagonals

Given that the diagonals are 4 and 2√3 and the angle between them is 30 degrees, we can calculate the area of the base.

Area = (1/2) * 4 * 2√3 * sin(30°)

Using the trigonometric identity sin(30°) = 1/2, we can simplify the calculation.

Area = (1/2) * 4 * 2√3 * (1/2) = 2√3

Calculating the Volume of the Pyramid

Now that we have the base area, which is 2√3, and the height of the pyramid is also equal to the shorter side of the base, we can calculate the volume using the formula:

Volume = (1/3) * Base Area * Height

Substituting the values:

Volume = (1/3) * 2√3 * √3 = 2

Therefore, the volume of the pyramid is 2 cubic units.