Question

Гусеница выползла из домика в полдень и ползает по лугу, поворачивая через каждый час на 90 градусов направо или налево. За первый час она проползла 1 м, за второй - 2 м и т. д. На каком наименьшем расстоянии от домика она могла оказаться в 10 часов вечера?

Answer 1

Пусть первый час она ползет на север.
Тогда каждый нечетный час она перемещается по оси Север-Юг, а каждый четный час по оси Восток-Запад.
В нечетные часы она проползает 1,3,5,7 и 9 метров соответственно.
Всего проползает 25 метров. Чтобы отклониться минимально - надо проползти половину в одну сторону и половину в другую... но 25 на 2 не делится. Поэтому минимальное отклонение будет 1 метр... 9+3=12 метра на Юг и 1+5+7=13 метров на север.
Теперь рассмотрим движение в четные часы.
Проползала по 2,4,6,8 и 10 метров. Всего 30 метров. Половина=15, но проползала каждый час четное число метров, поэтому минимальное отклонение = 2 метра (10+6 = 16 на восток; 2+4+8 = 14 на запад).

Итого общее отклонение от исходной точки = 1 метр по оси (Север-Юг) и 2 метра по оси (Запад-Восток).
По теореме Пифагора это $\sqrt{5} \approx 2.236$ метра

Answer 2

Наименьшее расстояние от домика, на котором гусеница могла оказаться в 10 часов вечера, можно найти, используя понятие вектора. Поскольку гусеница поворачивает через каждый час на 90 градусов, можно представить её движение как последовательность векторов, каждый из которых имеет длину 1 м и направление вправо или влево.

Таким образом, наименьшее расстояние от домика, которое гусеница могла преодолеть за 10 часов, можно найти, используя сумму векторов. Если она каждый час проползла 1 м, 2 м, 1 м, 2 м и т.д., то сумма этих векторов будет иметь длину 5 м (1+2+1+2+1+2+1+2+1+2) и направление, соответствующее последнему повороту.

Таким образом, гусеница могла оказаться на расстоянии 5 м от домика в 10 часов вечера.