Question

Известно, что с полным баком топлива рыбак проплывёт на моторной лодке 30 км по течению реки или 20 км против течения реки. На какое наибольшее расстояние может отплыть рыбак по реке, чтобы топлива хватило и на обратный путь? Если скорость лодки против течения равна 5 км/ч, то за какое время рыбак поднимется по течению на 20 км и вернётся обратно по течению с выключенным мотором?

Answer 1

Как я понимаю, топливо расходуется с одинаковой скоростью, то есть 1 л за какое-то определенное время.
Если по течению топлива хватает на 30 км, а против течения на 20, значит, он проплывет эти расстояния за одинаковое время.
Иначе говоря, если скорость лодки в стоячей воде v км/ч, а скорость течения w км/ч, то время
t = 30/(v+w) = 20/(v-w)
3(v - w) = 2(v + w)
3v - 3w = 2v + 2w
v = 5w - скорость лодки в 5 раз выше скорости течения.
t = 30/(6w) = 20/(4w) = 5/w
Если он отплывет на x км вниз по течению, а потом поднимется обратно, то  получится уравнение
x/(6w) + x/(4w) = 5/w
Или, умножив все на w
x/6 + x/4 = 5
2x + 3x = 5x = 5*12
x = 12 км.

б) Если w = 5 км/ч, то он поднимется на 20 км за
t1 = 20/(4w) = 20/20 = 1 час, и вернется по течению без мотора за
t2 = 20/5 = 4 часа.
Общее время t = t1 + t2 = 1 + 4 = 5 часов.

Answer 2

Давайте разберемся с задачей.

Обозначим скорость лодки относительно воды как \( v \), скорость течения реки как \( u \) и расстояние, которое рыбак хочет пройти, как \( D \).

Сначала рассмотрим движение лодки вниз по течению (по течению). Тогда относительная скорость лодки будет равна \( v + u \). Расстояние \( D \) равно 30 км. Уравнение времени для этого движения будет:

\[ \text{время} = \frac{\text{расстояние}}{\text{скорость}} = \frac{30}{v + u} \]

Теперь рассмотрим движение лодки вверх по течению (против течения). Тогда относительная скорость лодки будет равна \( v - u \). Расстояние \( D \) теперь равно 20 км. Уравнение времени для этого движения будет:

\[ \text{время} = \frac{\text{расстояние}}{\text{скорость}} = \frac{20}{v - u} \]

Так как рыбак хочет использовать топливо для полного круга, сумма времени движения вниз по течению и вверх по течению должна быть минимальной. Обозначим это общее время как \( T \):

\[ T = \frac{30}{v + u} + \frac{20}{v - u} \]

Теперь, чтобы найти минимальное значение \( T \), нужно взять производную \( T \) по \( v \) и приравнять ее к нулю:

\[ \frac{dT}{dv} = 0 \]

Решив это уравнение, найдем оптимальное значение \( v \). После этого можно использовать найденное значение \( v \) для расчета времени подъема и спуска.

Относительная скорость лодки по течению \( u \) равна 5 км/ч. Теперь у нас есть все необходимые данные для решения задачи.