Question

Дан треугольник ABC. Найти: а) тангенс угла А б) уравнение стороны АС в) уравнение высоты и медианы, опущенной из вершины В. г) сделать чертеж А(-1,4); В(0,2); С(3,-1)

Answer 1

Решение смотри во вложении.

Answer 2

Давайте пошагово решим каждый из пунктов задачи:

a) Тангенс угла A

Тангенс угла A можно найти по формуле:

\[ \tan(A) = \frac{{\text{противолежащий катет}}}{{\text{прилежащий катет}}} \]

Для треугольника ABC с вершинами A(-1,4), B(0,2) и C(3,-1):

1. Найдем координаты векторов \(\overrightarrow{AB}\) и \(\overrightarrow{AC}\):

\[\overrightarrow{AB} = (0 - (-1), 2 - 4) = (1, -2)\] \[\overrightarrow{AC} = (3 - (-1), -1 - 4) = (4, -5)\]

2. Теперь найдем длины векторов \(\overrightarrow{AB}\) и \(\overrightarrow{AC}\):

\[|\overrightarrow{AB}| = \sqrt{1^2 + (-2)^2} = \sqrt{5}\] \[|\overrightarrow{AC}| = \sqrt{4^2 + (-5)^2} = \sqrt{41}\]

3. Тангенс угла A:

\[ \tan(A) = \frac{|\overrightarrow{AC}|}{|\overrightarrow{AB}|} = \frac{\sqrt{41}}{\sqrt{5}} \]

б) Уравнение стороны AC

Уравнение прямой, проходящей через две точки \((x_1, y_1)\) и \((x_2, y_2)\), можно найти с использованием формулы:

\[ \frac{{y - y_1}}{{y_2 - y_1}} = \frac{{x - x_1}}{{x_2 - x_1}} \]

Для стороны AC (точки A(-1,4) и C(3,-1)):

\[ \frac{{y - 4}}{{-1 - 4}} = \frac{{x - (-1)}}{{3 - (-1)}} \]

в) Уравнение высоты и медианы, опущенной из вершины B

Высота и медиана, опущенные из вершины B, будут перпендикулярны стороне AC. Поэтому найдем уравнение прямой, проходящей через B(0,2) и перпендикулярной стороне AC.

1. Найдем координаты вектора \(\overrightarrow{AC}\) (уже найдено выше): \((4, -5)\)

2. Вектор, перпендикулярный \(\overrightarrow{AC}\), можно получить, поменяв местами координаты и знаки:

\(\overrightarrow{BD}\) (например, где D лежит на стороне AC и \(\overrightarrow{BD}\) перпендикулярен \(\overrightarrow{AC}\)):

\(\overrightarrow{BD} = (5, 4)\)

3. Теперь уравнение прямой:

\[ \frac{{y - 2}}{{4}} = \frac{{x - 0}}{{5}} \]

г) Чертеж

Чтобы нарисовать треугольник ABC, используйте заданные координаты вершин A(-1,4), B(0,2) и C(3,-1) на координатной плоскости.

Также постройте сторону AC, уравнение которой было найдено в пункте б). Из вершины B проведите высоту и медиану, уравнение которых было найдено в пункте в).

Это позволит вам визуализировать треугольник и проведенные линии.

Надеюсь, это поможет! Если у вас есть дополнительные вопросы, не стесняйтесь задавать.