Question

Допоможіть розв`язати задачу: Який чотирикутник буде отримано, якщо провести дотичні кола через кінці двох його неперпендикулярних діаметрів?

Answer 1

Буде отримано - ПРЯМОКУТНИК.
АС=ВД, тому що трикутник АОС =трикутнику ВОД
АД = ВС, тому що трикутники АОД та ВОС рівні.
кут АСВ = кут АДВ, томущо трикутник вписаний в коло та спирається на диаметр
Два інших кута рівні за тим же принципом

Answer 2

Який чотирикутник буде отримано, якщо провести дотичні кола через кінці двох його неперпендикулярних діаметрів?

При проведенні дотичних колів через кінці двох неперпендикулярних діаметрів чотирикутника, отримується вписаний чотирикутник. Вписаний чотирикутник - це чотирикутник, всі вершини якого лежать на колі.

Оскільки внаслідок проведення дотичних колів до кінців діаметрів, отримується коло, яке проходить через всі кінці чотирикутника, то всі вершини вписаного чотирикутника лежать на колі.

Введемо позначення: А, В, С, D - вершини вписаного чотирикутника, а O - центр кола.

Так, ми маємо вписаний чотирикутник ABCD з центром O. Дві дотичні прямі проведені від вершин A і C перетинаються в точці E, а пряма проведена від вершини B перетинає дотичну пряму, проведену від вершини D, в точці F.

Тоді для розв'язання задачі нам необхідно знайти величини кутів в цьому чотирикутнику.

За теоремою про центральний кут, кут між дотичною і діаметром у колі є прямим кутом. Отже, кути BEO і BFO є прямими кутами.

Тоді, за властивостями вписаного чотирикутника, сума кутів, протилежних кутам на протилежних сторонах чотирикутника, дорівнює 180 градусам.

Тобто, кути BOE і BFO є протилежними і їх сума дорівнює 180 градусам.

З цього випливає, що кути BOE і BFO є доповненими до прямих кутів. Отже, ці кути дорівнюють 90 градусам.

Таким чином, отримуємо, що в чотирикутнику ABCD кути BOE і BFO будуть дорівнювати по 90 градусів.

Тепер нам залишилось тільки знайти значення кутів в чотирикутнику ABCD.

Враховуючи, що сума кутів в будь-якому чотирикутнику дорівнює 360 градусам, можемо скласти рівняння:

кут BOE + кут BEO + кут BFO + кут BCO = 360 градусів.

Підставимо в нього відомі значення:

90° + кут BEO + 90° + кут BCO = 360 градусів.

Спростивши рівняння, отримаємо:

кут BEO + кут BCO = 180 градусів.

Також, знаючи, що сума кутів на стороні чотирикутника дорівнює 360 градусам, можемо скласти наступне рівняння:

кут ABC + кут BCD + кут CDA + кут DAB = 360 градусів.

Підставимо в нього відомі значення:

кут BEO + кут BCO + кут ABC + кут CDA = 360 градусів.

Таким чином, ми отримали систему двох рівнянь:

{ кут BEO + кут BCO = 180 градусів, кут BEO + кут BCO + кут ABC + кут CDA = 360 градусів. }

Розв'яжемо цю систему рівнянь і знайдемо значення кутів в залежності від значення кута BEO.

Отримавши значення кутів, можна побудувати вписаний чотирикутник ABCD і відповісти на поставлене завдання.