Question

Упростить выражение: cos3acosa+sin3asina.помогите пожалуйста

Answer 1

$cos3a*cosa+sin3a*sina=cos(3a-a)=cos2a$
По формуле сложения и вычитания аргументов

Answer 2

Конечно, давайте упростим выражение \( \cos^3(a)\cos(a)\sin^3(a)\sin(a) \).

Для упрощения этого произведения косинусов и синусов мы воспользуемся тригонометрическими тождествами.

1. Тождество произведения синусов: \(\sin(x)\sin(y) = \frac{1}{2}[\cos(x-y) - \cos(x+y)]\). 2. Тождество произведения косинусов: \(\cos(x)\cos(y) = \frac{1}{2}[\cos(x-y) + \cos(x+y)]\).

Применяя эти тождества, у нас есть:

\[ \begin{align*} &\cos^3(a)\cos(a)\sin^3(a)\sin(a) \\ &= \left(\frac{1}{2}[\cos(3a) + \cos(a)]\right) \cdot \left(\frac{1}{2}[\cos(3a) - \cos(a)]\right) \cdot \left(\frac{1}{2}[\sin(3a) - \sin(a)]\right) \cdot \left(\frac{1}{2}[\sin(3a) + \sin(a)]\right). \end{align*} \]

Теперь перемножим все эти четыре выражения:

\[ \begin{align*} &\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot [\cos(3a) + \cos(a)] \cdot [\cos(3a) - \cos(a)] \cdot [\sin(3a) - \sin(a)] \cdot [\sin(3a) + \sin(a)] \\ &= \frac{1}{16}[\cos^2(3a) - \cos^2(a)] \cdot [\sin^2(3a) - \sin^2(a)] \\ &= \frac{1}{16}[\cos^2(3a) - \cos^2(a)][\sin^2(3a) - \sin^2(a)]. \end{align*} \]

Теперь воспользуемся тригонометрическим тождеством \(\cos^2(x) = 1 - \sin^2(x)\):

\[ \begin{align*} &\frac{1}{16}[(1 - \sin^2(3a)) - (1 - \sin^2(a))][(1 - \sin^2(3a))\sin^2(a)] \\ &= \frac{1}{16}[\sin^2(a) - \sin^2(3a)][\sin^2(a) - \sin^2(3a)]. \end{align*} \]

Теперь упростим выражение, воспользовавшись тем, что \(\sin^2(x) = 1 - \cos^2(x)\):

\[ \begin{align*} &\frac{1}{16}[(1 - \cos^2(a) - (1 - \cos^2(3a))][(1 - \cos^2(3a) - (1 - \cos^2(a))] \\ &= \frac{1}{16}[\cos^2(3a) - \cos^2(a)][\cos^2(3a) - \cos^2(a)]. \end{align*} \]

Теперь мы можем снова воспользоваться тригонометрическим тождеством \(\cos^2(x) = 1 - \sin^2(x)\):

\[ \begin{align*} &\frac{1}{16}[(1 - \sin^2(3a)) - (1 - \sin^2(a))][(1 - \sin^2(3a))\sin^2(a)] \\ &= \frac{1}{16}[\sin^2(a) - \sin^2(3a)][\sin^2(a) - \sin^2(3a)]. \end{align*} \]

Таким образом, упрощенное выражение равно \(\frac{1}{16}[\sin^2(a) - \sin^2(3a)][\sin^2(a) - \sin^2(3a)]\).