Question

ПОЖАЛУЙСТА, СРОЧНО( 1.вычислите производную функции у=x^3+2cosx в точке х0=0 2. найдите множество всех первообразных для функции f(x)=0.5x^3 3. на 3 путевки в один и тот же санаторий претендуют 10 человек. сколькими способами можно распределить эти путевки среди претендентов?

Answer 1

1)производная=3x^2-2sinx,
в точке х=0
3*0^2-2sin0=0
2) F(x)=0,5*(x^4/4)+C=0,125x^4+C

Answer 2

Давайте рассмотрим каждый из вопросов по очереди.

1. Вычисление производной: Дана функция \(u = x^3 + 2\cos(x)\). Чтобы вычислить производную этой функции в точке \(x_0 = 0\), воспользуемся формулой производной сложной функции. Обозначим \(f(x) = x^3\) и \(g(x) = 2\cos(x)\).

Тогда \[ \begin{align*} u &= f(x) + g(x) \\ u' &= f'(x) + g'(x) \\ \end{align*} \]

Производная \(f(x) = x^3\) равна \(f'(x) = 3x^2\). Производная \(g(x) = 2\cos(x)\) равна \(g'(x) = -2\sin(x)\).

Теперь вычислим производные в точке \(x_0 = 0\): \[ \begin{align*} f'(0) &= 3 \cdot 0^2 = 0 \\ g'(0) &= -2\sin(0) = 0 \\ \end{align*} \]

Теперь подставим значения в формулу для производной: \[ \begin{align*} u'(0) &= f'(0) + g'(0) = 0 + 0 = 0 \\ \end{align*} \]

Таким образом, производная функции \(u\) в точке \(x_0 = 0\) равна 0.

2. Поиск множества первообразных: Для функции \(f(x) = 0.5x^3\), чтобы найти её первообразную, нужно проинтегрировать \(f(x)\). Интегрирование функции \(f(x)\) даст нам функцию \(F(x)\), такую что \(F'(x) = f(x)\).

\[ F(x) = \int 0.5x^3 \,dx = \frac{0.5}{4}x^4 + C \]

Где \(C\) - произвольная константа. Таким образом, множество первообразных для \(f(x) = 0.5x^3\) - это \(\{ \frac{0.5}{4}x^4 + C \}\), где \(C\) - произвольная константа.

3. Распределение путевок: Для распределения 3 путевок между 10 человеками можно воспользоваться формулой сочетаний. Количество способов распределить \(n\) одинаковых объектов по \(r\) различным ящикам равно \(C(n + r - 1, r - 1)\).

В данном случае, у нас есть 3 путевки и 10 человек. Таким образом, количество способов будет равно \(C(3 + 10 - 1, 3 - 1) = C(12, 2)\).

Расчет сочетаний осуществляется по формуле: \[ C(n, r) = \frac{n!}{r!(n-r)!} \]

Таким образом, \[ C(12, 2) = \frac{12!}{2!(12-2)!} = \frac{12 \times 11}{2} = 66 \]

Таким образом, существует 66 способов распределить 3 путевки между 10 человеками.