Question

F(x)=x^4-5x^3+3x^2+5x^-4 комплексные числа ,разложить многочлен на линейные множители

Answer 1

= (х^4 + 3x^2 -4) - 5x(x^2 - 1) = (x^2 + 4)(x^2 -1) - 5 (x^2 - 1) = 
= (x^2 - 1) (x^2 - 5x + 4) = (х^2 -1)(x-4)(x-1) = (x -4) (x +1) (x -1)^2

Разложим на множители первую скобку
х1^2 + x2^2 = - 3
x1 *x2 = -4 
x1 = -4   x2 = 1
Разложим на множители х^2 - 5x +4
x1 + x2 = 5
x1 * x2 = 4, Тогда х1 = 4 х2 = 1

Answer 2

Сгруппируем: (х^4 + 3x^2 - 4) - 5x(x^2 - 1);  
(х^4 + 3x^2 - 4) - 5x(x^2 - 1) = (x^2 + 4)(x^2 - 1) - 5(x^2 - 1) = (x^2 - 1)(x^2 - 5x + 4) = (х^2 - 1)(x - 4)(x - 1)=(x - 4)(x + 1)(x - 1)^2.
f(x)=(x - 4)(x + 1)(x - 1)^2.

Answer 3

Чтобы разложить многочлен на линейные множители, нужно найти его корни. Для этого уравнение \(f(x) = 0\), где \(f(x)\) - данный многочлен, ищутся значения \(x\), при которых многочлен обращается в ноль.

Давайте попробуем найти корни многочлена \(f(x) = x^4 - 5x^3 + 3x^2 + 5x^{-4}\). Заметим, что член \(5x^{-4}\) можно переписать в виде \(\frac{5}{x^4}\). Таким образом, наш многочлен будет:

\[f(x) = x^4 - 5x^3 + 3x^2 + \frac{5}{x^4}.\]

Теперь можем попробовать найти корни многочлена. Учитывая, что коэффициент при \(x^4\) равен 1, мы можем применить рациональный корень теоремы для поиска целых корней. Возможные целые корни можно найти, применяя делители свободного члена (в данном случае, 1) к коэффициентам перед старшими степенями \(x\). Здесь у нас нет свободного члена (например, \(f(0)\)), так что первыми кандидатами будут делители 1 и -1.

Теперь подставим эти значения \(x\) в многочлен и проверим, равен ли результат нулю:

1. При \(x = 1\): \[f(1) = 1^4 - 5 \cdot 1^3 + 3 \cdot 1^2 + \frac{5}{1^4} = 1 - 5 + 3 + 5 = 4 \neq 0.\]

2. При \(x = -1\): \[f(-1) = (-1)^4 - 5 \cdot (-1)^3 + 3 \cdot (-1)^2 + \frac{5}{(-1)^4} = 1 + 5 + 3 + 5 = 14 \neq 0.\]

Таким образом, ни 1, ни -1 не являются корнями многочлена.

Мы можем также воспользоваться тем, что многочлен является четвертой степени, и попробовать воспользоваться другими методами поиска корней, например, методом группировки или методом Бриггса. Однако, давайте предположим, что у нас уже есть корень \(x = a\). Тогда мы можем разделить многочлен на \((x - a)\), чтобы найти остальные корни.

\[f(x) = x^4 - 5x^3 + 3x^2 + \frac{5}{x^4} = (x - a) \cdot g(x).\]

Поделим многочлен на \(x - a\), используя синтетическое деление или деление полиномов:

a |   1   -5    3    0    5
  |----------------------------
  |   |  a  -4a  3a²  -3a³
  |----------------------------
  |  1  (a-5a  -a²  3a²  -3a³) 5

Таким образом, разложение многочлена \(f(x)\) на линейные множители выглядит следующим образом:

\[f(x) = (x - a)(x^3 - 4x^2 + 3x - 3).\]

Теперь у нас есть линейный множитель \((x - a)\), где \(a\) - корень многочлена. Мы можем продолжить разложение многочлена \(x^3 - 4x^2 + 3x - 3\) таким же образом, итеративно находя корни и деля многочлен на соответствующий линейный множитель.

Надеюсь, это помогает! Если у вас есть дополнительные вопросы или если что-то не ясно, не стесняйтесь спрашивать.