Question

Помогите пожалуйста решить лог. уравнение: log_3⁡(x+2)=(log_5⁡(x+7) )×log_3⁡(x+2) и если не трудно, то подскажите какие азы нужны для решения таких уравнений.

Answer 1

Логарифмы с одинаковыми основаниями вынесем за скобку: 
log_3(X+2)·(1-log_5(x+7)) =0
⇒   log_3(X+2)=0      и 1-log_5(x+7) =0   ⇒х+2=3:0=1      х=1-2= - 1
log_5(x+7)) =1    ⇒х+7=5^1    x=5-7= - 2
ОДЗ: х+2>0    и x+7>0        
Ответ:   х= - 1

Answer 2

Давайте рассмотрим данное логарифмическое уравнение и попробуем его решить.

Уравнение: \(\log_3(x+2) = \left(\log_5(x+7) + \log_3(x+2)\right)\)

Первым шагом давайте избавимся от логарифмов, используя свойства логарифмов.

1. Применим свойство логарифмов \(\log_a(b) + \log_a(c) = \log_a(b \cdot c)\): \(\log_3(x+2) = \log_5(x+7) \cdot \log_3(x+2)\)

2. Теперь давайте упростим уравнение. Если \(\log_a(b) = \log_a(c)\), то это означает, что \(b = c\), при условии, что оба выражения определены.

Поэтому в данном случае: \(\log_3(x+2) = \log_5(x+7)\)

3. Переведем обе стороны уравнения в степени соответствующих оснований логарифмов, чтобы избавиться от логарифмов: \((x+2) = (x+7)^{\frac{\log_5(3)}{\log_5(5)}}\)

4. Упростим выражение: \((x+2) = (x+7)^{\frac{\log_5(3)}{1}}\) \((x+2) = (x+7)^{\log_5(3)}\)

5. Теперь возьмем обе стороны уравнения в степень основания: \(3^{(x+2)} = 5^{(x+7)}\)

6. Решим полученное уравнение. Для этого приведем его к общему основанию, например, используя логарифм по основанию 10: \(\log_{10}(3^{(x+2)}) = \log_{10}(5^{(x+7)})\)

Применим свойство логарифма \(\log_a(b^c) = c \cdot \log_a(b)\): \((x+2) \cdot \log_{10}(3) = (x+7) \cdot \log_{10}(5)\)

7. Теперь раскроем логарифмы, используя числовые значения \(\log_{10}(3)\) и \(\log_{10}(5)\).

После решения получившегося уравнения, найденное значение \(x\) проверьте, чтобы удостовериться, что оно является допустимым для исходного уравнения. Определение допустимости происходит при вычислении логарифмов, поэтому необходимо убедиться, что все значения под логарифмами положительны.