Question

Во сколько раз увеличится объём конуса если радиус его основания увеличится в 3 раза, а высота уменьшится в 1,5 раза? С подробным решением.

Answer 1

Объем конуса:
$V _{1} = \frac{1}{3} \pi R ^{2} H \\ \\ V _{2} = \frac{1}{3} \pi* \frac{ (3R ) ^{2} *H}{1.5} = \frac{1}{3} \pi* \frac{9R ^{2}H }{1.5}= \frac{1}{3} \pi *6R ^{2} H=2 \pi R ^{2}H \\ \\ \frac{V _{2} }{V _{1} } = \frac{2 \pi R ^{2}H }{ \frac{1}{3} \pi R ^{2} H}= \frac{2}{ \frac{1}{3} } =6$
Ответ: объем конуса увеличится в 6 раз.

Answer 2

Объем конуса можно вычислить по формуле:

\[ V = \frac{1}{3} \pi r^2 h, \]

где \( r \) - радиус основания конуса, \( h \) - высота конуса.

Дано, что радиус \( r \) увеличится в 3 раза, а высота \( h \) уменьшится в 1,5 раза. Обозначим новые значения радиуса и высоты через \( r' \) и \( h' \) соответственно.

\[ r' = 3r \] \[ h' = \frac{2}{3}h \]

Теперь подставим новые значения в формулу для объема:

\[ V' = \frac{1}{3} \pi (3r)^2 \left(\frac{2}{3}h\right) \]

Упростим выражение:

\[ V' = \frac{1}{3} \pi 9r^2 \frac{2}{3}h \]

\[ V' = \frac{2}{3} \pi 3r^2 h \]

\[ V' = 2 \pi r^2 h \]

Таким образом, объем конуса увеличится в 2 раза, если радиус его основания увеличится в 3 раза, а высота уменьшится в 1,5 раза.