Question

Помогите с математикой! Срочно! Исследуйте функцию и постройте график: у=1/2 х^4 - х^3

Answer 1

Исследовать функцию -- значит определить её область определния, множество значений; чётность/нечётность; нули, области знакопостоянства, критические точки, области возрастания и убывания, выпуклости и вогнутости, возможные асимптоты, оси и центры симметрии и построить график.

Обозначим f(x)=(8x^3+1)/x = 8x^2 + 1/x

1. Область определения: x не равно 0

2. Область значений: y -- любое (см. п. 11).

3. Функция не является ни чётной, ни нечётной (первое слагаемое в сумме 8x^2 + 1/x чётное, второе -- нечётное) .

4. Точки пересечения с осями координат, в т. ч. нули.
x=0 => f(x) не определена
f(x)=0 => x=-1/2

5. Области знакопостоянства
Функция может менять знак при переходе через нули или критические точки
Нуль (простой): x=-1/2; критическая точка x=0
Двигаемся справа налево по числовой оси:
при x>0 y>0
при -1/2<x<0>0

6. Критические точки, точки экстремума, области возрастания и убывания.
f(x) -- гладкая функция на всей числовой оси, за исключением критической точки x=0

f'(x) = 16x-1/x^2 = (16x^3-1)/x^2
f'(x)=0 => x=1/(2^(4/3))
Двигаемся по оси х справа налево:
x>1/(2^(4/3)) => f'(x)>0 => f(x) строго монотонно возрастает
0<x<1/(2^(4/3))> f'(x)<0 => f(x) строго монотонно убывает
x<0 => f'(x)<0 => f(x) строго монотонно убывает
(при переходе через 0 знак f'(x) не изменяется) .

При переходе через x=1/(2^(4/3)) f'(x) меняет знак с "-" на "+" => имеем локальный минимум y=3*2^(1/3)

7. Области выпуклости и вогнутости; точки перегиба.

f''(x) = 16 + 2/x^3 = 2 (8x^3+1)/x^3
f''(x)=0 => x=-1/2
f''(x)=2f(x)/x^2) => области знакопостоянства f''(x) и f(x) совпадаютж см. п. 5
при x>0 f''(x)>0 => f(x) выпукла вниз
при -1/2<x<0> f(x) выпукла вверх
при x<-1/2 f''(x)>0 => f(x) выпукла вниз

x=-1/2 -- точка перегиба; y=0

8. Возможные асимптоты.
Вертикальная: ось y (x=0). При x, стремящемся к 0 сверху/снизу, f(x) стремится соответственно к плюс/минус бесконечности.
Горизонтальных нет, т. к. при x, стремящемся к плюс/минус бесконечности, не существует конечного предела f(x).
Наклонных нет, т. к. при x, стремящемся к плюс/минус бесконечности, не существует конечного предела f(x)/x

При x, стремящемся к плюс/минус бесконечности, график f(x) приближается к параболе y=8x^2 соответственно сверху/снизу

9. Симметричность графика.
Осей и центров симметрии нет.

10. Собственно график (см. рис) .

11. количество решений уравнения f(x)=y в зависимости от y.
Из графика видно, что решения существуют при дюбом y'
y>3*2^(1/3) => три решения (x1<-1/2^(1/3)); 0<x2<1/(2^(4/3));>1/(2^(4/3))
y=3*2^(1/3) => два решения (x1=-1/2^(1/3)); x2=1/(2^(4/3)) -- двойной корень (для получения x1 нужно решить прстое уравнение)
y<3*2^(1/3) => одно решение -1/2^(1/3))<x<0>

Answer 2

Для исследования функции и построения ее графика у=1/2x^4 - x^3, мы должны проанализировать различные аспекты функции, включая область определения, интервалы возрастания и убывания, экстремумы, точки перегиба и поведение функции при стремлении аргумента к бесконечности.

1. Область определения функции: Функция у=1/2x^4 - x^3 определена для всех действительных значений х.

2. Интервалы возрастания и убывания: Для определения интервалов возрастания и убывания функции, возьмем производную функции и найдем ее корни. Затем мы можем построить знаки производной на числовой прямой, чтобы определить интервалы возрастания и убывания функции.

Производная функции: у' = 2x^3 - 3x^2

Уравнение у' = 0: 2x^3 - 3x^2 = 0 x^2(2x - 3) = 0 x^2 = 0 или 2x - 3 = 0

Корни уравнения: x = 0 и x = 3/2

Знаки производной на числовой прямой: -∞ 0 3/2 +∞ - 0 + +

Интервалы возрастания: (-∞, 0) и (3/2, +∞) Интервалы убывания: (0, 3/2)

3. Экстремумы: Для нахождения экстремумов функции, найдем вторую производную и проверим ее знак на интервалах возрастания и убывания.

Вторая производная функции: у'' = 6x^2 - 6x

Знаки второй производной на числовой прямой: -∞ 0 1 +∞ + 0 - +

Изменение знака второй производной показывает, что функция имеет локальный максимум в точке x = 0 и локальный минимум в точке x = 3/2.

4. Точки перегиба: Для нахождения точек перегиба функции, найдем значения x, при которых вторая производная равна нулю.

Уравнение у'' = 0: 6x^2 - 6x = 0 6x(x - 1) = 0

Корни уравнения: x = 0 и x = 1

5. Поведение функции при стремлении аргумента к бесконечности: При стремлении аргумента x к бесконечности, функция у=1/2x^4 - x^3 также будет стремиться к бесконечности, но знак функции будет зависеть от старшего члена (x^4). Если старший член положительный, то функция будет стремиться к положительной бесконечности, а если старший член отрицательный, то функция будет стремиться к отрицательной бесконечности.

Теперь, имея всю эту информацию, мы можем построить график функции у=1/2x^4 - x^3.