Question

Найти все значения а, при которых один корень уравнения 2ах^2 - 2x - 3a - 2 = 0 больше 1, а другой меньше 1.

Answer 1

2a*x^2 - 2x + (-3a-2) = 0
Во-первых, отметим, что при а = 0 уравнение станет линейным:
-2x - 2 = 0; x = -1 - имеет единственный корень. Поэтому a ≠ 0.

Теперь решаем, как обычное квадратное уравнение.
D/4 = 1 - 2a(-3a-2) = 6a^2 + 4a + 1 > 0 при любом а.
Теперь находим x:
x1 = (1 - √(6a^2+4a+1))/(2a)
x2 = (1 + √(6a^2+4a+1))/(2a)
Один корень должен быть больше 1, а другой меньше 1.
Возможные варианты:

1)
{ (1 - √(6a^2+4a+1))/(2a) > 1
{ (1 + √(6a^2+4a+1))/(2a) < 1
Приводим к общему знаменателю
{ (1 - √(6a^2+4a+1) - 2a)/(2a) > 0
{ (1 + √(6a^2+4a+1) - 2a)/(2a) < 0

Если a < 0, то
{ 1 - √(6a^2+4a+1) - 2a < 0
{ 1 + √(6a^2+4a+1) - 2a > 0
Переносим корень отдельно
{ √(6a^2+4a+1) > 1 - 2a
{ √(6a^2+4a+1) > 2a - 1
Заметим, что при a < 0 будет 1 - 2a > 0; 2a - 1 < 0
Так как корень арифметический, то 2 неравенство верно при любом a < 0.
1 неравенство возводим в квадрат
6a^2 + 4a + 1 > 1 - 4a + 4a^2
Приводим подобные
2a^2 + 8a > 0
2a(a + 4) > 0
a < 0, поэтому a < -4

Если a > 0, то
{ 1 - √(6a^2+4a+1) - 2a > 0
{ 1 + √(6a^2+4a+1) - 2a < 0
Переносим корень отдельно
{ √(6a^2+4a+1) < 1 - 2a
{ √(6a^2+4a+1) < 2a - 1
Если a ∈ (0; 1/2), то 2a - 1 < 0, тогда 2 неравенство решений не имеет.
Если a > 1/2, то 1 - 2a < 0, тогда 1 неравенство решений не имеет.
Если a = 1/2, то оба неравенства решений не имеют.
√(6a^2+4a+1) < 0
Решений нет

2)
{ (1 - √(6a^2+4a+1))/(2a) < 1
{ (1 + √(6a^2+4a+1))/(2a) > 1
Приводим к общему знаменателю
{ (1 - √(6a^2+4a+1) - 2a)/(2a) < 0
{ (1 + √(6a^2+4a+1) - 2a)/(2a) > 0

Если a < 0, то
{ 1 - √(6a^2+4a+1) - 2a > 0
{ 1 + √(6a^2+4a+1) - 2a < 0
Переносим корень отдельно
Заметим, что при a < 0 будет 1 - 2a > 0; 2a - 1 < 0
{ √(6a^2+4a+1) < 1 - 2a
{ √(6a^2+4a+1) < 0
2 неравенство решений не имеет
Решений нет.

Если a > 0, то
{ 1 - √(6a^2+4a+1) - 2a < 0
{ 1 + √(6a^2+4a+1) - 2a > 0
Переносим корень отдельно
{ √(6a^2+4a+1) > 1 - 2a
{ √(6a^2+4a+1) > 2a - 1

Если a ∈ (0; 1/2), то 2a - 1 < 0, 2 неравенство верно при любом a > 0
1 неравенство возводим в квадрат
6a^2 + 4a + 1 > 1 - 4a + 4a^2
2a^2 + 8a > 0 - Это верно при любом a > 0.
Значит, a ∈ (0; 1/2)

Если a > 1/2, то 1 - 2a < 0, 1 неравенство верно при любом a > 0
2 неравенство возводим в квадрат.
6a^2 + 4a + 1 > 4a^2 - 4a + 1
2a^2 + 8a > 0 - Это верно при любом a > 0
Значит, a > 1/2

Если a = 1/2, то оба неравенства верны:
√(6a^2+4a+1) > 0

Ответ: a ∈ (-oo; -4) U (0; +oo)

Answer 2

Чтобы найти значения параметра \( a \), при которых уравнение \( 2ax^2 - 2x - 3a - 2 = 0 \) имеет один корень больше 1, а другой корень меньше 1, можно воспользоваться дискриминантом.

Общая формула для квадратного уравнения \( ax^2 + bx + c = 0 \) имеет вид: \[ D = b^2 - 4ac \]

Если дискриминант \( D > 0 \), то у уравнения два корня, если \( D = 0 \), то у уравнения один корень (корень кратности 2), а если \( D < 0 \), то уравнение не имеет вещественных корней.

В данном случае, уравнение имеет один корень больше 1 и другой меньше 1. Это означает, что дискриминант должен быть равен 0, чтобы был только один корень, и при этом этот корень должен быть больше 1 и меньше 1.

Итак, зададим условие:

1. Дискриминант равен 0: \[ D = (-2)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3a-2) = 4 + 24a + 16 = 24a + 20 = 0 \]

2. Решим уравнение относительно \( a \): \[ 24a + 20 = 0 \] \[ 24a = -20 \] \[ a = -\frac{5}{6} \]

Таким образом, при \( a = -\frac{5}{6} \) уравнение \( 2ax^2 - 2x - 3a - 2 = 0 \) будет иметь один корень больше 1 и другой корень меньше 1.