Question

При каких значениях m вершины парабол у = –х2 + 4mх – m и у = х2 +2mх – 2 расположены по одну сторону от оси х? с объяснением.

Answer 1

Вершина параболы:  у = –х^2 + 4mх – m будет находится выше оси х, если дискриминант положителен (ветви направлены вниз, корни есть) и ниже оси х если дискриминант меньше нуля (нет решений)
вершина параболы  у = х2 +2mх – 2, выше оси х если дискриминант меньше нуля и находится ниже оси х если дискриминант положителен.
Таким образом:
1) Чтобы обе вершины были выше оси х, 
D1>0
D2<0
То есть решаем систему неравенств:
16m^2-4m>0 m (-∞;0)U(1/4;+∞)
4m^2+8<0  нет решений.
2) Обе вершины ниже оси х:
D1<0
D2>0
То есть решаем систему неравенств:
16m^2-4m<0, m (0;1/4)
4m^2+8>0,  m (-∞;+∞)
Ответ: (0;1/4)

Answer 2

Уравнение параболы имеет общий вид \(y = ax^2 + bx + c\), где \(a\), \(b\) и \(c\) - коэффициенты, определяющие форму и положение параболы.

Для уравнения \(y = -x^2 + 4mx - m\) нам нужно понять, при каких значениях \(m\) вершина параболы будет расположена по одну сторону от оси \(x\).

Чтобы найти вершину параболы, используем формулу \(x = -\frac{b}{2a}\), где \(b\) - коэффициент при \(x\) и \(a\) - коэффициент при \(x^2\).

Для уравнения \(y = -x^2 + 4mx - m\): \(a = -1\), \(b = 4m\).

Теперь найдем вершину параболы: \[x = -\frac{4m}{2(-1)} = 2m\]

Вершина параболы находится в точке с координатами \((2m, f(2m))\).

Для уравнения \(y = x^2 + 2mx - 2\): \(a = 1\), \(b = 2m\).

Используя ту же формулу для нахождения вершины: \[x = -\frac{2m}{2(1)} = -m\]

Вершина параболы находится в точке \((-m, f(-m))\).

Теперь сравним положение вершин обеих парабол при различных значениях \(m\):

- Если \(2m > -m\), то вершины параболы будут находиться по одну сторону от оси \(x\). - Решим неравенство: \(2m > -m\). - При \(3m > 0\) вершины будут находиться по одну сторону от оси \(x\).

Следовательно, при значениях \(m > 0\) вершины обеих парабол будут находиться по одну сторону от оси \(x\).