Question

не могу решить интеграл dx/X^2+2^1/3

Answer 1

S dx/x²+2⅓=Sx-²+2-⅓dx=-x-¹/-2⅓

Answer 2

Конечно, давайте решим данный интеграл:

\[\int{\frac{dx}{x^2 + 2^{1/3}}}.\]

Для начала, представим знаменатель в виде суммы квадратов:

\[x^2 + 2^{1/3} = x^2 + (\sqrt[3]{2})^2.\]

Теперь мы можем воспользоваться формулой суммы квадратов:

\[a^2 + b^2 = (a + b)(a - b).\]

Применяем эту формулу к нашему выражению:

\[x^2 + (\sqrt[3]{2})^2 = (x + \sqrt[3]{2})(x - \sqrt[3]{2}).\]

Теперь наш интеграл принимает следующий вид:

\[\int{\frac{dx}{(x + \sqrt[3]{2})(x - \sqrt[3]{2})}}.\]

Теперь разложим дробь на простейшие дроби с использованием неопределенных коэффициентов \(A\) и \(B\):

\[\frac{1}{(x + \sqrt[3]{2})(x - \sqrt[3]{2})} = \frac{A}{x + \sqrt[3]{2}} + \frac{B}{x - \sqrt[3]{2}}.\]

Найдем \(A\) и \(B\). Умножим обе стороны на общий знаменатель:

\[1 = A(x - \sqrt[3]{2}) + B(x + \sqrt[3]{2}).\]

Теперь подставим значения переменных, чтобы найти \(A\) и \(B\). Положим \(x = \sqrt[3]{2}\), тогда \(A = \frac{1}{2\sqrt[3]{2}}\). Аналогично, положим \(x = -\sqrt[3]{2}\), тогда \(B = -\frac{1}{2\sqrt[3]{2}}\).

Теперь наш интеграл принимает вид:

\[\int{\frac{dx}{(x + \sqrt[3]{2})(x - \sqrt[3]{2})}} = \int{\left(\frac{1}{2\sqrt[3]{2}(x + \sqrt[3]{2})} - \frac{1}{2\sqrt[3]{2}(x - \sqrt[3]{2})}\right)dx}.\]

Теперь проинтегрируем каждую из дробей по отдельности:

\[\frac{1}{2\sqrt[3]{2}} \int{\frac{1}{x + \sqrt[3]{2}}dx} - \frac{1}{2\sqrt[3]{2}} \int{\frac{1}{x - \sqrt[3]{2}}dx}.\]

Обе эти интегралы являются стандартными логарифмическими интегралами:

\[\frac{1}{2\sqrt[3]{2}} \ln{|x + \sqrt[3]{2}|} - \frac{1}{2\sqrt[3]{2}} \ln{|x - \sqrt[3]{2}|} + C,\]

где \(C\) - постоянная интегрирования.

Таким образом, окончательный ответ на интеграл

\[\int{\frac{dx}{x^2 + 2^{1/3}}} = \frac{1}{2\sqrt[3]{2}} \ln{|x + \sqrt[3]{2}|} - \frac{1}{2\sqrt[3]{2}} \ln{|x - \sqrt[3]{2}|} + C,\]

где \(C\) - произвольная постоянная интегрирования.