Question

Найдите корни уравнения 6sin^2x-5cosx+5=0 на отрезке [-3П;5П]

Answer 1

(sinx)²+(cosx)²=1, (sinx)²=1-(cosx)²
6*(1-(cosx)²)-5cosx+5=0
-6(cosx)²-5cosx+11=0
cosx=t, t∈[-;1]
-6t²-5t+11=0
t₁=-1, t₂=-23/12 не подходит
обратная замена 
cosx=-1
x=π+2πn, n∈Z

Answer 2

Для нахождения корней уравнения \(6\sin^2x - 5\cos x + 5 = 0\) на отрезке \([-3\pi, 5\pi]\), мы будем использовать тригонометрические тождества и методы решения уравнений.

Давайте заметим, что у нас присутствуют оба тригонометрических выражения: \(\sin^2x\) и \(\cos x\). Мы можем воспользоваться тригонометрическими тождествами, такими как \(\sin^2x + \cos^2x = 1\), чтобы выразить одну из переменных через другую.

Так как у нас есть \(\sin^2x\) и \(\cos x\), давайте выразим \(\sin^2x\) через \(\cos x\):

\[ \sin^2x = 1 - \cos^2x \]

Теперь мы можем подставить это в исходное уравнение:

\[ 6(1 - \cos^2x) - 5\cos x + 5 = 0 \]

Раскроем скобки:

\[ 6 - 6\cos^2x - 5\cos x + 5 = 0 \]

Упростим уравнение:

\[ -6\cos^2x - 5\cos x + 11 = 0 \]

Теперь у нас есть квадратное уравнение относительно \(\cos x\). Мы можем решить его с использованием дискриминанта и формулы квадратного корня. Дискриминант выглядит так:

\[ D = b^2 - 4ac \]

где у нас есть уравнение вида \(ax^2 + bx + c = 0\).

В нашем случае \(a = -6\), \(b = -5\), и \(c = 11\).

\[ D = (-5)^2 - 4(-6)(11) \] \[ D = 25 + 264 \] \[ D = 289 \]

Так как дискриминант положителен, у нас есть два действительных корня. Теперь используем формулу квадратного корня:

\[ \cos x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \]

\[ \cos x = \frac{5 \pm \sqrt{289}}{-12} \]

\[ \cos x = \frac{5 \pm 17}{-12} \]

Теперь у нас есть два возможных значения для \(\cos x\):

1. \[ \cos x = \frac{5 + 17}{-12} = \frac{22}{-12} = -\frac{11}{6} \] 2. \[ \cos x = \frac{5 - 17}{-12} = \frac{-12}{-12} = 1 \]

Теперь мы знаем значения \(\cos x\), и мы можем использовать исходное выражение \(\sin^2x = 1 - \cos^2x\) для нахождения соответствующих значений \(\sin x\).

1. Для \(\cos x = -\frac{11}{6}\):

\[ \sin^2x = 1 - \left(-\frac{11}{6}\right)^2 \] \[ \sin^2x = 1 - \frac{121}{36} \] \[ \sin^2x = \frac{36}{36} - \frac{121}{36} \] \[ \sin^2x = -\frac{85}{36} \]

Так как \(\sin^2x\) не может быть отрицательным, нет корней для этого значения \(\cos x\).

2. Для \(\cos x = 1\):

\[ \sin^2x = 1 - 1^2 \] \[ \sin^2x = 0 \]

Таким образом, у нас есть единственный корень для \(\cos x = 1\), который соответствует \(x = k\pi\), где \(k\) - целое число. Учитывая отрезок \([-3\pi, 5\pi]\), мы видим, что \(x = 0\) удовлетворяет условиям. Таким образом, уравнение имеет один корень на заданном интервале: \(x = 0\).