Question

Помогите, пожалуйста, решить задачу по теории вероятностей На складе имеется 15 садовых скамеек. 10 деревянных и 5 из пластика. Случайным образом отобрали 6 скамеек. Какова вероятность того, что среди них: a) 3 из дерева и 3 из пластика b) Хотя бы одна из пластика

Answer 1

1)Решаем через сочетания элементов:
$P=\frac{C^3_{10}*C^3_5}{C^6_{15}}=\frac{\frac{10!}{7!3!}*\frac{5!}{2!3!}}{\frac{15!}{9!6!}}=\frac{\frac{2*3*4*5*6*7*8*9*10}{2*3*4*5*6*7*2*3}*\frac{2*3*4*5}{2*2*3}}{\frac{2*3*4*5*6*7*8*9*10*11*12*13*14*15}{2*3*4*5*6*7*8*9*2*3*4*5*6}}=\\\\=\frac{1200}{5005}\approx0,24\approx24\%$

2)Решаем через сочетания элементов:
$P=1-\frac{C^6_{10}}{C^6_{15}}=1-\frac{\frac{10!}{4!6!}}{\frac{15!}{9!6!}}=1-\frac{\frac{2*3*4*5*6*7*8*9*10}{2*3*4*2*3*4*5*6}}{\frac{2*3*4*5*6*7*8*9*10*11*12*13*14*15}{2*3*4*5*6*7*8*9*2*3*4*5*6}}=\\=1-\frac{210}{5005}\approx0,96\approx96\%$

Answer 2

Давайте решим задачу по теории вероятностей, связанную с отбором скамеек на складе.

a) Вероятность отобрать 3 скамейки из дерева и 3 скамейки из пластика.

Чтобы найти вероятность отобрать 3 скамейки из дерева и 3 скамейки из пластика, мы можем использовать комбинаторику и формулу для нахождения вероятности события.

В данном случае, у нас есть 10 деревянных скамеек и 5 пластиковых скамеек. Мы отбираем 6 скамеек случайным образом.

Давайте посчитаем количество возможных комбинаций отобрать 3 скамейки из дерева и 3 скамейки из пластика.

Количество комбинаций отобрать 3 скамейки из дерева: $\binom{10}{3} = \frac{10!}{3!(10-3)!} = \frac{10!}{3!7!} = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 120$

Количество комбинаций отобрать 3 скамейки из пластика: $\binom{5}{3} = \frac{5!}{3!(5-3)!} = \frac{5!}{3!2!} = \frac{5 \cdot 4}{2 \cdot 1} = 10$

Теперь, чтобы найти вероятность, мы должны разделить количество благоприятных исходов на общее количество возможных исходов.

Количество благоприятных исходов: У нас есть 120 возможных комбинаций отобрать 3 скамейки из дерева и 10 возможных комбинаций отобрать 3 скамейки из пластика. Умножим эти числа вместе: $120 \cdot 10 = 1200$

Общее количество возможных исходов: Мы отбираем 6 скамеек из общего числа скамеек на складе, то есть $\binom{15}{6} = \frac{15!}{6!(15-6)!} = \frac{15!}{6!9!} = \frac{15 \cdot 14 \cdot 13 \cdot 12 \cdot 11 \cdot 10}{6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 5005$

Теперь мы можем найти вероятность:

Вероятность отобрать 3 скамейки из дерева и 3 скамейки из пластика: $\frac{1200}{5005} \approx 0.2398$ (округлено до четырех десятичных знаков)

Таким образом, вероятность отобрать 3 скамейки из дерева и 3 скамейки из пластика составляет примерно 0.2398 или около 23.98%.

b) Вероятность отобрать хотя бы одну скамейку из пластика.

Чтобы найти вероятность отобрать хотя бы одну скамейку из пластика, мы можем рассмотреть обратное событие - отсутствие скамеек из пластика среди отобранных. Затем мы вычтем вероятность этого обратного события из 1, чтобы найти вероятность хотя бы одной скамейки из пластика.

Вероятность отсутствия скамеек из пластика среди отобранных:

Для этого мы рассмотрим случай, когда все 6 отобранных скамеек являются деревянными. У нас есть 10 деревянных скамеек и 6 скамеек, которые мы отбираем. Мы можем использовать комбинаторику, чтобы найти количество комбинаций отобрать 6 деревянных скамеек из 10:

Количество комбинаций отобрать 6 деревянных скамеек: $\binom{10}{6} = \frac{10!}{6!(10-6)!} = \frac{10!}{6!4!} = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 210$

Теперь мы можем найти вероятность отсутствия скамеек из пластика среди отобранных:

Вероятность отсутствия скамеек из пластика: $\frac{210}{5005} \approx 0.0419$ (округлено до четырех десятичных знаков)

Теперь, чтобы найти вероятность хотя бы одной скамейки из пластика, мы вычтем вероятность отсутствия скамеек из пластика из 1:

Вероятность хотя бы одной скамейки из пластика: $1 - 0.0419 = 0.9581$ (округлено до четырех десятичных знаков)

Таким образом, вероятность отобрать хотя бы одну скамейку из пластика составляет примерно 0.9581 или около 95.81%.