Question

Найти найти производную f (x)=tg2x+sin^2x

Answer 1

Производная = 2/(cos^2(2x))

Answer 2

Для нахождения производной функции \( f(x) = \tan^2(x) + \sin^2(x) \), используем правила дифференцирования элементарных функций. Давайте найдем производные каждого из слагаемых и затем сложим их:

1. Начнем с первого слагаемого: \( \tan^2(x) \). Для нахождения производной \( \tan^2(x) \) используем правило дифференцирования для функции \( \tan(u) \), где \( u \) - функция от \( x \):

\[ \frac{d}{dx}(\tan^2(x)) = 2 \tan(x) \cdot \frac{d}{dx}(\tan(x)) \]

Теперь нам нужно найти производную \( \tan(x) \). Для этого используем правило дифференцирования для \( \tan(x) \):

\[ \frac{d}{dx}(\tan(x)) = \sec^2(x) \]

Теперь мы можем подставить это значение обратно в производную \( \tan^2(x) \):

\[ \frac{d}{dx}(\tan^2(x)) = 2 \tan(x) \cdot \sec^2(x) \]

2. Теперь перейдем ко второму слагаемому: \( \sin^2(x) \).

Для нахождения производной \( \sin^2(x) \) используем правило дифференцирования для \( \sin(u) \), где \( u \) - функция от \( x \):

\[ \frac{d}{dx}(\sin^2(x)) = 2 \sin(x) \cdot \frac{d}{dx}(\sin(x)) \]

Теперь нам нужно найти производную \( \sin(x) \). Для этого используем правило дифференцирования для \( \sin(x) \):

\[ \frac{d}{dx}(\sin(x)) = \cos(x) \]

Теперь мы можем подставить это значение обратно в производную \( \sin^2(x) \):

\[ \frac{d}{dx}(\sin^2(x)) = 2 \sin(x) \cdot \cos(x) \]

3. Теперь сложим производные двух слагаемых:

\[ \frac{d}{dx}(f(x)) = 2 \tan(x) \cdot \sec^2(x) + 2 \sin(x) \cdot \cos(x) \]

Это и есть производная функции \( f(x) \).

Теперь у нас есть выражение для производной \( f(x) \). Если вам нужно упростить его или продолжить дальнейшие действия с ним, дайте знать.