Question

Существует ли многогранник с нечетным числом граней, каждая из которых есть многоугольник с нечетным числом сторон?

Answer 1

Пусть такой многогранник существует. Обозначим за 1, 2, …, число ребер на гранях, тогда 1 + 2 + … – удвоенная сумма всех ребер многогранника, она – четная. А в левой части стоит нечетная сумма слагаемых, каждое из которых – нечетно. Получили противоречие. Значит, такого многогранника не существует.

Answer 2

Да, существуют многогранники с нечетным числом граней, каждая из которых является многоугольником с нечетным числом сторон. Один из примеров такого многогранника - это додекаэдр. Додекаэдр имеет 12 граней, каждая из которых является пятиугольником, а пятиугольник имеет 5 сторон, что является нечетным числом.

Пример: - Многогранник: Додекаэдр - Число граней: 12 (нечетное число) - Каждая грань: Пя