Question

Помогите пожалуйста найти частные производные первого и второго порядка sqrt(x+2*y)+3*(x^4)*y-8*x-2 не совсем понимаю что делать с корнем

Answer 1

$z=\sqrt{x+2y}+3x^4y-8x-2 \\ z'_x=\dfrac{1}{2 \sqrt{x+2y} }+12x^3y-8 \\ z'_y=\dfrac{2}{2 \sqrt{x+2y} }+3x^4=\dfrac{1}{\sqrt{x+2y} }+3x^4$
$z''_{xx}=( \frac{1}{2}(x+2y)^{- \frac{1}{2}} +12x^3y-8)'_x =- \frac{1}{4}(x+2y)^{- \frac{3}{2}} +36x^2y= \\ =- \frac{1}{4(x+2y) \sqrt{x+2y} } +36x^2y$
$z''_{yy}=((x+2y)^{- \frac{1}{2}} +3x^4)'_y =- \frac{1}{2}(x+2y)^{- \frac{3}{2}}=- \frac{1}{2(x+2y) \sqrt{x+2y} }$
$z''_{xy}=z''_{yx}=( \frac{1}{2}(x+2y)^{- \frac{1}{2}} +12x^3y-8)'_y =- \frac{1}{4}(x+2y)^{- \frac{3}{2}}*2 +12x^3= \\ =- \frac{1}{2(x+2y) \sqrt{x+2y} } +12x^3$

Answer 2

Для нахождения частных производных первого и второго порядка функции sqrt(x+2*y) + 3*(x^4)*y - 8*x - 2 необходимо применить правила дифференцирования. Однако, перед тем как продолжить, я замечу, что в данной функции присутствует корень. Возможно, вам будет удобнее работать с функцией, если мы избавимся от корня. Для этого можно воспользоваться эквивалентным представлением корня в виде степени 1/2. Таким образом, функцию можно переписать следующим образом: (x+2*y)^(1/2) + 3*(x^4)*y - 8*x - 2.

Теперь мы можем приступить к нахождению частных производных. Для удобства обозначим данную функцию как f(x, y).

Частная производная по x (первого порядка):

Чтобы найти частную производную функции f(x, y) по x, необходимо дифференцировать функцию по x, считая y константой. Получим:

**∂f/