Question

даны уравнения двух сторон ромба x-4y+7=0 ; 3x+y-5=0 и одна из его вершин M(5,1).составить уравнение диагоналей ромба. с подробным решением

Answer 1

Находим вершину как точку пересечения заданных прямых:
х-4у+7 = 0|           х-4у+7 = 0         
3х+у-5 = 0|x4 = 12x+4у-20 = 0.  
                        -------------------
                         13x     -13 = 0,
                             x = 13/13 = 1.
y = -3x+5 = -3*1+5 = 2.
Пусть это точка А(1;2).
Выясним, принадлежит ли точка М(5;1) заданным прямым:
 x-4y+7=0    5-4*1+7 = 8 ≠0,
3x+y-5=0    3*5+1-5 = 11 ≠0.
Значит, точка М на одной диагонали с точкой А.
Находим координаты точки О - точки пересечения диагоналей как середину АМ:
О((1+5)/2=3; (2+1)/2=1,5) = (3;1,5).
Находим уравнение прямой через точку М(5;1), параллельную прямой 3х+у-5 = 0. Пересечение этой прямой с прямой х-4у+7=0 даст точку В.
ВМ: 3(х-5)+1(у-1)=0,
        3х-15+у-1=0
        3х+у-16=0.
По схеме, по которой найдена точка А, находим координаты точки В:
  х-4у+7=0,            х-4у+7=0,
3х+у-16=0|x4 =  12х+4у-64=0.
                        ------------------.
                          13x    -57 =0
                          x= 57/13,
  y = -3x+16 = -3*57/13+16 = (-171+208)/13 = 37/13.
По координатам точек В и О находим уравнение диагонали ВС:
Уравнение в виде y = k · x + b .
В этом уравнении:
k - угловой коэффициент прямой (k = tg(φ), φ - угол, который образует данная прямая с положительным направлением оси OX);
b - y-координата точки (0; b), в которой искомая прямая пересекает ось OY.
k = (yB - yA) / (xB - xA) = (1,5 - (2,846154)) / (3 - (4,384615)) = 0,972;
b = yB - k · xB = 1.5 - (0,972) · (3) = yA - k · xA = 2,846154 - (0,972) · (4,384615) = -1,417 .
Искомое уравнение: y = 0,972x - 1,417 .

Аналогично находим уравнение диагонали АМ:
k = (yB - yA) / (xB - xA) = (1 - (2)) / (5 - (1)) = -0,25;
b = yB - k · xB = 1 - (-0,25) · (5) = yA - k · xA = 2 - (-0.25) · (1) = 2,25 .
Искомое уравнение: y = -0,25x + 2,25 .

Answer 2

Для составления уравнения диагоналей ромба, нам сначала необходимо найти координаты остальных вершин ромба. Поскольку одна из вершин дана как M(5,1), нам нужно найти остальные вершины, чтобы иметь возможность составить уравнение диагоналей.

Нахождение остальных вершин ромба

Ромб является параллелограммом, поэтому диагонали ромба делятся пополам и пересекаются в его центре. Давайте найдем центр ромба, используя уравнения двух сторон, и затем найдем остальные вершины.

1. Найдем точку пересечения двух сторон ромба, используя систему уравнений:

Уравнение первой стороны ромба: x - 4y + 7 = 0 Уравнение второй стороны ромба: 3x + y - 5 = 0

Решим систему уравнений для нахождения точки пересечения:

   x - 4y + 7 = 0   ...(1)
   3x + y - 5 = 0   ...(2)
   

Решение системы уравнений:

Перейдем к методу исключения, умножим уравнение (2) на 4 и сложим его с уравнением (1):

   4(3x + y - 5) + (x - 4y + 7) = 0
   12x + 4y - 20 + x - 4y + 7 = 0
   13x - 13 = 0
   13x = 13
   x = 1
   

Подставим найденное значение x в уравнение (1):

   1 - 4y + 7 = 0
   -4y + 8 = 0
   -4y = -8
   y = 2
   

Таким образом, точка пересечения сторон ромба имеет координаты (1, 2).

2. Найдем остальные вершины ромба, используя центр ромба (1, 2) и данную вершину M(5, 1).

Для этого, найдем векторы от центра ромба до данной вершины M и от центра ромба до остальных вершин. Затем, сложим эти векторы с координатами центра ромба, чтобы получить координаты остальных вершин.

Вектор от центра ромба до данной вершины M:

   V1 = (5 - 1, 1 - 2) = (4, -1)
   

Теперь, сложим этот вектор с координатами центра ромба (1, 2), чтобы получить координаты одной из вершин ромба:

   V2 = (1 + 4, 2 - 1) = (5, 1)
   

Таким образом, одна из вершин ромба имеет координаты (5, 1).

Чтобы найти остальные вершины ромба, нужно найти векторы от центра ромба до остальных вершин, и добавить эти векторы к координатам центра ромба (1, 2).

Вектор от центра ромба до остальных вершин:

   V3 = (5 - 1, 1 - 2) = (4, -1)
   V4 = (1 - 4, 2 - 1) = (-3, 1)
   

Сложим эти векторы с координатами центра ромба (1, 2), чтобы получить координаты остальных вершин:

   Вершина A: (1, 2) + (4, -1) = (5, 1)
   Вершина B: (1, 2) + (-3, 1) = (-2, 3)
   Вершина C: (1, 2) - (4, -1) = (-3, 1)
   

Таким образом, вершины ромба имеют следующие координаты: A(5, 1), B(-2, 3), C(-3, 1)

Составление уравнения диагоналей ромба

Теперь, когда у нас есть координаты вершин ромба, мы можем составить уравнение диагоналей. Диагонали ромба проходят через его центр и соединяют противоположные вершины.

Диагональ AC проходит через вершины A(5, 1) и C(-3, 1). Чтобы составить уравнение этой диагонали, мы можем использовать формулу для уравнения прямой, проходящей через две точки: (x - x1) / (x2 - x1) = (y - y1) / (y2 - y1).

Подставим значения координат вершин A(5, 1) и C(-3, 1) в эту формулу:

(x - 5) / (-3 - 5) = (y - 1) / (1 - 1)
(x - 5) / -8 = (y - 1) / 0

Обратите внимание, что знаменатель второй дроби равен нулю, что означает, что диагональ AC вертикальна и ее уравнение имеет вид x = константа. В данном случае, константа равна 5.

Таким образом, уравнение диагонали AC ромба: x = 5.

Диагональ BD проходит через вершины B(-2, 3) и D(1, 2). Чтобы составить уравнение этой диагонали, мы можем снова использовать формулу для уравнения прямой, проходящей через две точки.

Подставим значения координат вершин B(-2, 3) и D(1, 2) в эту формулу:

(x - (-2)) / (1 - (-2)) = (y - 3) / (2 - 3)
(x + 2) / 3 = (y - 3) / -1

Упростим это уравнение, умножив оба выражения на 3:

x + 2 = 3(y - 3)
x + 2 = 3y - 9
x - 3y = -11

Таким образом, уравнение диагонали BD ромба: x - 3y = -11.

Итак, уравнение диагоналей ромба: - Диагональ AC: x = 5 - Диагональ BD: x - 3y = -11

Надеюсь, это подробное решение помогло вам составить уравнение диагоналей ромба. Если у вас возникнут дополнительные вопросы, пожалуйста, не стесняйтесь задать их!