Question

Натуральные числа a и b таковы, что 2 НОК(a, b) + 3 НОД(a, b) = 100. Найдите наибольшее возможное значение числа a.

Answer 1

Если х и у  это определенные числа то НОК можно записать как 
a*x=420 
b*y=420
Есть связь между НОК и НОД оно такое     
a*b=НОК(a,b)*НОД(a;b)
a*b=420*12
a*b=5040 
выражая  с первый отношение получим 
420^2/xy=5040
xy=35
подходит x=7; y=5
то есть числа a=60; b=84 
Ответ 60 и 84 

Answer 2

Давайте обозначим через \(d\) наибольший общий делитель (НОД) чисел \(a\) и \(b\), а через \(m\) - их наименьшее общее кратное (НОК). Тогда у нас есть следующие соотношения:

\[ \begin{align*} d &= \text{НОД}(a, b) \\ m &= \text{НОК}(a, b) \end{align*} \]

Также известно, что:

\[ 2m + 3d = 100 \]

Теперь рассмотрим разложение на простые множители для \(m\) и \(d\):

\[ \begin{align*} m &= p_1^{k_1} \cdot p_2^{k_2} \cdot \ldots \cdot p_n^{k_n} \\ d &= p_1^{m_1} \cdot p_2^{m_2} \cdot \ldots \cdot p_n^{m_n} \end{align*} \]

где \(p_1, p_2, \ldots, p_n\) - простые числа, а \(k_1, k_2, \ldots, k_n, m_1, m_2, \ldots, m_n\) - их натуральные степени.

Теперь у нас есть следующие соотношения:

\[ \begin{align*} 2m + 3d &= 100 \\ 2(p_1^{k_1} \cdot p_2^{k_2} \cdot \ldots \cdot p_n^{k_n}) + 3(p_1^{m_1} \cdot p_2^{m_2} \cdot \ldots \cdot p_n^{m_n}) &= 100 \end{align*} \]

Учитывая, что \(m\) и \(d\) являются НОК и НОД соответственно, можно выразить \(a\) и \(b\) следующим образом:

\[ \begin{align*} a &= p_1^{k_1} \cdot p_2^{k_2} \cdot \ldots \cdot p_n^{k_n} \cdot p_1^{m_1} \cdot p_2^{m_2} \cdot \ldots \cdot p_n^{m_n} \\ b &= p_1^{m_1} \cdot p_2^{m_2} \cdot \ldots \cdot p_n^{m_n} \end{align*} \]

Теперь мы видим, что \(a\) - это произведение степеней простых множителей, присутствующих в разложении \(m\) и \(d\). Нам нужно найти такие степени, чтобы значение \(a\) было максимальным.

Итак, чтобы максимизировать \(a\), нужно выбрать максимальные степени для каждого простого числа в разложении \(m\) и \(d\).

Теперь давайте рассмотрим уравнение \(2m + 3d = 100\). Поскольку \(m\) и \(d\) зависят от простых множителей, мы можем предположить, что значения степеней простых чисел в \(m\) и \(d\) будут максимальными.

Таким образом, мы выбираем \(k_1 = k_2 = \ldots = m_1 = m_2 = \ldots = 1\). В этом случае \(a = p_1 \cdot p_2 \cdot \ldots \cdot p_n\) - произведение простых чисел.

Теперь у нас есть максимальные значения для \(a\) и \(b\), удовлетворяющие условиям задачи. Таким образом, наибольшее возможное значение числа \(a\) - это произведение всех простых чисел:

\[a = 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot \ldots\]

Это значение бесконечно увеличивается с учетом всех простых чисел.