Question

Найдите сумму n - членов ряда ряда и бесконечную сумму 1/1*2*3 +1/2*3*4 +1/3*4*5 .....+1/n(n+1)(n+2) ответ для бесконечной суммы 1/4

Answer 1

Для начало проверим так ли это ,  по признаку сходимости .   Преобразуем 
домножим каждое слагаемое так что бы в итоге было 
 $\frac{1!}{3!}+\frac{1!}{4!}+\frac{2!}{5!}+\frac{3!}{6!}+\frac{4!}{7!}...$
 если принять $n=0$ получим 
 $\sum_{n=0}^{ \infty}} \ \frac{n!}{(n+3)!}$  По признаку  Даламбера получим то что ряд сходится . Теперь вычислим саму сумму, ряд можно представить как  
$\frac{1}{2}(\frac{1}{3}+\frac{1}{12}+\frac{1}{30}...)$ 
а в скобках это   Треугольник Лейбница и он равен  $\frac{1}{2}\\ S=\frac{1}{2}^2=\frac{1}{4}$

Запишем 
$n=1\\ \frac{1}{n(n+1)(n+2)} + \frac{1}{(n+1)(n+2)(n+3)}+\frac{1}{(n+2)(n+3)(n+4)}...\\\\ a_{1}= \frac{1}{n(n+1)(n+2)}=\frac{1}{2}(\frac{1}{n} - \frac{2}{n+1}+\frac{1}{n+2})\\ a_{2}= \frac{1}{(n+1)(n+2)(n+3)}=\frac{1}{2}(\frac{1}{n+1}-\frac{2}{n+2}+\frac{1}{n+3})\\ a_{3}= \frac{1}{(n+2)(n+3)(n+4)}=\frac{1}{2}(\frac{1}{n+2}-\frac{2}{n+3}+\frac{1}{n+4})$
 Суммирую , и заметим что если домножить на некое число получим 
 $S_{n}=\frac{1}{2}(\frac{1}{2}-\frac{n!}{(n+2)!})$
  либо 
 $S_{n}=\frac{1}{4} - \frac{1}{2(n+1)(n+2)}$

Answer 2

Для нахождения суммы первых n членов данного ряда и бесконечной суммы можно использовать методы математического анализа. Давайте начнем с вычисления суммы первых n членов ряда.

Вычисление суммы первых n членов ряда

Рассмотрим ряд: 1/1*2*3 + 1/2*3*4 + 1/3*4*5 + ... + 1/n(n+1)(n+2)

Для вычисления суммы первых n членов ряда, мы сначала можем записать каждый член ряда в виде дроби с общим знаменателем. В данном случае, общий знаменатель будет n(n+1)(n+2). Таким образом, каждый член ряда можно записать как 1/(n(n+1)(n+2)).

Теперь, чтобы найти сумму первых n членов ряда, мы можем просуммировать каждый член ряда от 1 до n. Математически, это можно записать следующим образом:

S(n) = 1/1*2*3 + 1/2*3*4 + 1/3*4*5 + ... + 1/n(n+1)(n+2)

где S(n) представляет сумму первых n членов ряда.

Давайте напишем программный код на Python, который вычислит сумму первых n членов ряда:

def calculate_sum(n):
    sum = 0
    for i in range(1, n+1):
        sum += 1 / (i * (i+1) * (i+2))
    return sum

n = 10  # Здесь можно указать любое значение n
result = calculate_sum(n)
print("Сумма первых", n, "членов ряда:", result)

Если запустить этот код, мы получим сумму первых n членов ряда, где n - указанное нами значение. В данном случае, я использовал n = 10 для примера.

Вычисление бесконечной суммы

Для вычисления бесконечной суммы, мы должны установить предел этой суммы, то есть найти значение, к которому стремится сумма ряда при n, стремящемся к бесконечности.

Аналитически, мы можем использовать методы суммирования рядов, такие как метод частичных сумм или метод предела, чтобы найти значение бесконечной суммы. Однако, в данном случае, ряд является достаточно сложным, и аналитическое решение может быть довольно сложным или невозможным.

Мы можем приближенно вычислить бесконечную сумму, используя численные методы, такие как метод Монте-Карло или численное интегрирование. Однако, для данного ряда, точное значение бесконечной суммы может быть сложно найти.

Если вы имеете определенные требования к точности, вы можете использовать численные методы для приближенного вычисления бесконечной суммы. Однако, важно отметить, что точное значение бесконечной суммы может быть сложно найти в данном случае.