Question

На стороне AB квадрата ABCD вне его построен равносторонний треугольник ABE. Найдите радиус окружности, проходящей через точки C, D и E, если сторона квадрата равна 5.

Answer 1

Попробуем решить задачу в общем виде. Пусть точка О - центр окружности, проходящей через точки Е,С и D. Эта точка лежит на прямой, соединяющей точки Е и F, где точка F - середина стороны СD квадрата. Это ясно из того, что радиус, перпендикулярный к хорде СD, делит эту хорду пополам.
OF=EF-OE или OF=EF-R. EF=a+a(√3/2), где a(√3/2) - высота равностороннего треугольника АЕВ. Итак, OF=a(2+√3)/2-R. По Пифагору в треугольнике FOC квадрат  гипотенузы ОС (равной радиусу R) равен ОС²=ОF²+FС² или R²=(a(2+√3)/2-R)²+а²/4.
Решим это уравнение.
R²=a²(2+√3)²/4-a(2+√3)R+R²+a²/4.
a(2+√3)R=[a²(2+√3)²+a²]/4 = a²[4+4√3+3+1]/4;
(2+√3)R=a*4(2+√3)/4 = a*(2+√3). Отсюда R=a.
Ответ: R=5.

P.S. Еще проще: если из точек С и D провести прямые, параллельные ВЕ и АЕ, то они
пересекутся в точке О и тогда сразу видно, что ОЕ=ОС=ОD, так как ОЕВС и ОЕАD -
параллелограммы. Следовательно, R=a.

Answer 2

Для решения этой задачи воспользуемся свойствами равностороннего треугольника и окружностей.

Поскольку треугольник ABE является равносторонним, то все его стороны равны. Пусть сторона равностороннего треугольника равна a.

Так как сторона квадрата AB равна 5, то сторона треугольника ABE также равна 5.

Для того чтобы найти радиус окружности, проходящей через точки C, D и E, нам необходимо найти длину отрезка CE.

Рассмотрим треугольник CDE. Так как сторона треугольника ABE равна 5, то сторона треугольника CDE также равна 5.

Поскольку треугольник CDE равнобедренный, то отрезок CE является высотой этого треугольника и проходит через его вершину D. Значит, отрезок CE является медианой треугольника CDE.

В равнобедренном треугольнике медиана, проходящая из вершины, перпендикулярна к основанию и делит его на две равные части.

Отрезок CE делит сторону DE пополам, значит, его длина равна половине стороны треугольника CDE.

Так как сторона треугольника CDE равна 5, то длина отрезка CE равна 5/2 = 2.5.

Теперь мы знаем, что отрезок CE равен 2.5.

Радиус окружности, проходящей через точки C, D и E, равен половине длины отрезка CE.

Таким образом, радиус этой окружности равен 2.5/2 = 1.25.

Ответ: радиус окружности, проходящей через точки C, D и E, равен 1.25.