Question

Определить острый угол между высотой и медианой треугольника ABC, проведенными из вершины A, если координаты вершин известны: A(-2, 3), B(5, 7) и C(-3, -2).

Answer 1

Сделаем решение графическим методом.
Рисунок к задаче - в приложении.
РЕШЕНИЕ
Координата точки М - медианы
Мх =  Сх +(Вх - Сх)/2 = 1
Му = Су + (Ву - Су)/2 = 2,5
Уравнение медианы - прямая АМ.
k = (Aу - Му)/(Ах - Мх) = - 1/6
b = Ау - k*Ax = 2 2/3
Уравнение прямой АМ - Y = - 1/6*x + 2 2/3
Уравнение прямой АВ
Y = 4/7 *x + 4 1/7
Угол между прямыми АВ и АМ - острый.
tg α = (k2 - k1)/(1 + k1*k2) = - 0.738/0.904 = - 0.816
arctg α = -0.6843
α ≈39.2° - ОТВЕТ

Answer 2

Для определения острого угла между высотой и медианой треугольника ABC, проведенными из вершины A, нам понадобятся несколько шагов.

Шаг 1: Найдите координаты вершины треугольника A

У нас уже есть координаты вершин треугольника: A(-2, 3), B(5, 7) и C(-3, -2).

Шаг 2: Найдите высоту треугольника из вершины A

Высота треугольника из вершины A перпендикулярна стороне BC и проходит через вершину A. Для нахождения высоты нам понадобится найти уравнение прямой, на которой она лежит.

Первым шагом найдем уравнение прямой, проходящей через вершины B и C. Для этого мы можем использовать формулу для уравнения прямой, проходящей через две точки:

Уравнение прямой: y - y1 = m(x - x1)

Где (x1, y1) - координаты одной из вершин треугольника, а m - угловой коэффициент прямой.

Для точек B(5, 7) и C(-3, -2) угловой коэффициент можно найти по формуле:

Угловой коэффициент прямой: m = (y2 - y1) / (x2 - x1)

Подставим значения координат и найдем угловой коэффициент этой прямой:

m = (7 - (-2)) / (5 - (-3)) = 9 / 8

Теперь у нас есть уравнение прямой, проходящей через вершины B и C:

y - 7 = (9/8)(x - 5)

Чтобы получить уравнение прямой, проходящей через вершину A и перпендикулярной стороне BC, мы можем использовать свойство перпендикулярных прямых, которое гласит, что угловые коэффициенты перпендикулярных прямых являются отрицательно-обратными.

Угловой коэффициент перпендикулярной прямой будет равен -8/9 (обратное значение и смена знака).

Теперь мы можем использовать уравнение прямой, проходящей через вершину A и перпендикулярной стороне BC, чтобы найти уравнение высоты треугольника:

y - 3 = (-8/9)(x + 2)

Шаг 3: Найдите координаты точки пересечения высоты и медианы

Медиана треугольника - это линия, проходящая через вершину A и середину стороны BC. Чтобы найти середину стороны BC, мы можем использовать формулу средней точки:

Середина стороны BC: ( (x1 + x2) / 2, (y1 + y2) / 2 )

Где (x1, y1) и (x2, y2) - координаты вершин B и C соответственно:

Середина стороны BC: ( (5 + (-3)) / 2, (7 + (-2)) / 2 ) = (1, 2.5)

Теперь у нас есть точка пересечения высоты и медианы. Для нахождения координат этой точки, мы можем решить систему уравнений, состоящую из уравнения высоты и уравнения медианы.

Шаг 4: Найдите острый угол между высотой и медианой

Теперь, когда у нас есть координаты точки пересечения высоты и медианы, мы можем использовать тригонометрические функции для определения острого угла между этими двумя отрезками.

Для этого мы можем использовать формулу:

Косинус угла между двумя векторами: cos(theta) = (a * b) / (|a| * |b|)

Где a и b - векторы, соединяющие точку пересечения высоты и медианы с вершиной A и серединой стороны BC соответственно.

После нахождения косинуса угла между этими векторами, мы можем использовать обратную тригонометрическую функцию, такую как arccos, чтобы найти сам угол.

Обратная тригонометрическая функция: theta = arccos(cos(theta))

Это даст нам значение угла в радианах. Чтобы перевести его в градусы, мы можем использовать формулу: градусы = радианы * (180 / pi), где pi - математическая константа, приближенно равная 3.14159.

Надеюсь, это поясняет, как определить острый угол между высотой и медианой треугольника ABC, проведенными из вершины A, с заданными координатами вершин.